Algunas notas sobre la desigualdad de Bessel y la ecuación de Parseval

1. $Bessel$ La desigualdad : Conjunto $X$ de espacio de producto interno, $M = \ left \ {E_ {n} n \ geqslant 1 \ right \}$ como una intersección positivo estándar, $Bessel$ la siguiente inecuación:

$\ Sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ left | <x, e_ {i}> \ right | ^ {2} \ leqslant \ left \ | x \ right \ | ^ {2}$

Demostrado ser relativamente simple, de primer orden:

$y = \ sum_ {i = 1} ^ {n} <x, e_ {i}> e_ {i}$

$\ Forall x \ in X$ , Hay (prueba omitida):

$<Y, xy> = ... = 0 \ Rightarrow \ left \ | x \ right \ | ^ {2} = \ left \ | y \ right \ | ^ {2} + \ left \ | xy \ right \ | ^ {2}$

Por lo que hay: $\ Left \ | y \ right \ | ^ {2} \ leq \ left \ | x \ right \ | ^ {2}$ que

$\ Sum_ {i = 1} ^ {n} \ left | <x, e_ {i}> \ right | ^ {2} \ leqslant \ left \ | x \ right \ | ^ {2}$

Uso limitado sucesión monótona tiene límite, obtener:

$\ Sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ left | <x, e_ {i}> \ right | ^ {2} \ leqslant \ left \ | x \ right \ | ^ {2}$

Nota: $\ Sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ left | <x, e_ {i}> \ right | ^ {2}$ La convergencia de $\ Sum_ {i = 1} ^ {\ infty} <x, e_ {i}> e_ {i}$ un poco más fuerte. Se puede demostrar $Hilbert$ tanto la misma convergencia espacio inferior, más en general, son:

$\ Sum_ {i \ geq 1} <a_ {i}, E_ {i}>$ La $\ Sum_ {i \ geq 1} \ left | a_ {i} \ right | ^ {2}$ misma convergencia.

2. Considerar un espacio con producto interno especial, es decir, $Hilbert$ el espacio:

Las siguientes series infinitas deben ser convergentes:

$\ Sum_ {i = 1} ^ {\ infty} <x, e_ {i}> e_ {i}$

Si $METRO$ es una base ortonormal (conjuntos completamente ortogonales estándar), entonces la fórmula converge a $X$
Si $METRO$ es una base ortonormal, la desigualdad se expresa adicionalmente como ecuación de Bessel Parseval:

$\ Sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ left | <x, e_ {i}> \ right | ^ {2} = \ left \ | x \ right \ | ^ {2}$

3. Integral: ecuación Parseval es la desigualdad de Bessel completa espacio del producto interior + conjuntos completamente ortogonales estándar bajo un caso especial.

4. Aplicación del análisis de Fourier.

Actualización continua. . .

Fanfan TT West

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