KMP (character matching algorithm)

 

1, first find the same maximum length prefixes and suffixes

 

 

 

Each sub-string pattern string	Prefix	suffix	The maximum length of common elements
x	air	air	0
xy	x	Y	0
xyx	x ， xy	x ， yx	1 （ x ）
xyxy	x ， xy ， xyx	y ， xy ， yxy	2 （ xy ）
xyxyy	x ， xy ， xyx ， xyxy	y ， yy ， xyy ， yxyy	0
xyxyyx	x ， xy ， xyx ， xyxy ， xyxyy	x ， yx ， yyx ， xyyx ， yxyyx	1 （ x ）
xyxyyxx	x ， xy ， xyx ， xyxy ， xyxyy ， xyxyyx	x ， xx ， yxx ， yyxx ， xyyxx ， yxyyxx	1 （ x ）
xyxyyxxy	x ， xy ， xyx ， xyxy ， xyxyy ， xyxyyx ， xyxyyyxx	y ， xy ， xxy ， yxxy ， yyxxy ， xyyxxy ， yxyyxxy	2 （ xy ）
xyxyyxxyx	x ， xy ， xyx ， xyxy ， xyxyy ， xyxyyx ， xyxyyyxx ， xyxyyyxxy	x ， yx ， xyx ， xxyx ， yxxyx ， yyxxyx ， xyyxxyx ， yxyyxxyx	3 (xyx)

String pattern	X	Y	X	Y	Y	X	X	Y	X
The maximum prefix common elements	0	0	1	2	0	1	1	2	3

Yan demand next version of the data structure of the formula:

We are mainly looking at the second term, there are two cases:

(1) set is empty, if the set is empty, then the first part of the formula or the third case (other cases), j = 1 when, next [1] = 0, when j> 1 is, next [j] = 1.

(2) a set of k is not empty, then we want to take, the set of k is a maximum value.

K need to meet two conditions, one is 1 <k <j, the second is behind that.

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对于前面这个，不用多说，对于后面这个，如果只看形式化的公式，估计比较难理解其意义。通过阮老师的博文（http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/Knuth%E2%80%93Morris%E2%80%93Pratt_algorithm.html），不难理解，后面这个表达式的意义就是所有前缀与所有后缀中，前缀与后缀相同的情况，那么，这个 k 的取值就是前缀与后缀相等时，字符串的长度加上 1 。

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先以严老师书上的例子：

求模式串 abaabcac 的 next 数组

当 j=1 时， next[1]=0 ，直接是公式的第一种情况

当 j=2 时，因为第二种情况要保证集合不为空且 1<k<j ，那么， j=2 时，集合为空，所以不符合第二种情况，因此，属于其他情况，即 next[2]=1

当 j=3 时， k 要小于 j ，所以，我们要在模式串找长度小于 j 的前面全部串的前缀与后缀相同时的最大长度，也就是在模式串中找到前两位 ab ，来找他们最长的前缀与后缀及长度，可以发现，他们没有相同的前缀与后缀，因此，长度为 0 ，而 k 等于长度加 1 ，所以 next[3]=1

当 j=4 时，在 aba 中找前缀与后缀的相同时的最大长度，可以求出最大长度Max为 1 ，所以 next[4]=2

当 j=5 时，在 abaa 中找，Max为 1 ，所以 next[5]=2

当 j=6 时，在 abaab 中找，Max为 2 ，所以 next[6]=3

当 j=7 时，在 abaabc 中找，Max为 0 ，所以 next[7]=1

当 j=8 时，在 abaabca 中找，Max为 1 ，所以 next[8]=2

 

之所以要找前缀与后缀，是因为我们在比较的时候，避免做多余的工作，即每次遇到主串和模式串不等时，都把模式串直接从头开始比。

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以模式串为 xyxyyxxyx 为例，求 next

当 j=1 ， next[1]=0

当 j=2 ， next[2]=1

当 j=3 ，在 xy 中找前缀与后缀，最大长度 max 为 0 ， next[3]=1

当 j=4 ，在 xyx 中找， Max 为 1 ， next[4]=2

当 j=5 ，在 xyxy 中找， Max 为 2 ， next[5]=3

当 j=6 ，在 xyxyy 中找， Max 为 0 ， next[6]=1

当 j=7 ，在 xyxyyx 中找， Max 为 1 ， next[7]=2

当 j=8 ，在 xyxyyxx 中找， Max 为 1 ， next[8]=2

当 j=9 ，在 xyxyyxxy 中找， Max 为 2 ， next[9]=3