矩阵和实数运算不同之处

矩阵和实数运算不同之处

除了矩阵乘法不满足交换律外，矩阵还有几个特殊之处。

定义 零矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $\mathbf{O}$ 。注意不同型的零矩阵是不同的。

1. 实数 $ab=0$ 可得 $a=0$ 或 $b=0$ ，矩阵中存在类似的结论吗，即两个矩阵乘积为零矩阵，可得出某个矩阵为零矩阵吗？结论是不能！若有两个矩阵 $A$ 、 $B$ 满足 $A B = \mathbf{O}$ ，不能得出 $A = \mathbf{O}$ 或 $B = \mathbf{O}$ 的结论；若 $A \ne \mathbf{O}$ 而 $A(X - Y)= \mathbf{O}$ ，不能得出 $X = Y$ 的结论。

为什么呢？如果矩阵 $A$ 是相关组，则存在多个非零向量 $\mathbf{b_i}$ 满足 $A\mathbf{b_i} = \mathbf{0}$ ，合成矩阵形式即得 $A B = \mathbf{O}$ 。

例如
$A= \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right] \quad B= \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right] \quad AB= \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

2. 实数 $a^2=1$ 可得 $a=1$ 或 $a=-1$ ，矩阵中存在类似的结论吗，即矩阵平方为单位矩阵，可得出矩阵为单位矩阵或相反的单位矩阵吗？结论是不能！若有矩阵 $A$ 满足 $AA = E$ ，不能得出 $A = E$ 或 $A = -E$ 的结论。

定义 对合矩阵 逆矩阵等于自身的矩阵，即满足 $AA = E$ 的矩阵。

对合矩阵有无穷多个，不只是单位矩阵。矩阵如果即是对称矩阵又是正交矩阵，则是对合矩阵。

3. 实数 $a^2=a$ 可得 $a=1$ 或 $a=0$ ，矩阵中存在类似的结论吗，即矩阵平方等于自身，可得出矩阵为单位矩阵或零矩阵吗？结论是不能！若有矩阵 $A$ 满足 $AA = A$ ，不能得出 $A = E$ 或 $A = \mathbf{O}$ 的结论。

定义 幂等矩阵 矩阵平方等于自身，即满足 $AA = A$ 。

幂等矩阵有无穷多个，投影矩阵 $P$ 就是幂等矩阵， 且 $2A - E$ 是对合矩阵。

故大家在进行矩阵运算时，不能想当然地认为实数结论可以推广到矩阵，一定要谨慎！因为矩阵本质上是一种线性映射，是一种函数。矩阵乘法对应着函数的复合，而函数的复合是不可交换的，导致矩阵乘法极其复杂。

4. 矩阵乘法没有逆运算：除法，不能定义矩阵 $A／B$ 。

因为矩阵乘法 $AB=C$ 的逆是已知矩阵 $A$ 和 $C$ ，求矩阵 $B$ 。满足等式成立的矩阵 $B$ 不唯一，所以无法定义矩阵除法。矩阵 $A$ 满足什么条件，矩阵 $B$ 是唯一的呢？当矩阵 $A$ 的向量组是无关组时， $A\mathbf{b_i} = \mathbf{c_i}$ 是单射， 向量 $\mathbf{c_i}$ 确定唯一的向量 $\mathbf{b_i}$ ，所以 $AB=\left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right] = \left[ \mathbf{c_1},\cdots,\mathbf{c_p}\right]=C$ ，矩阵 $C$ 确定唯一矩阵 $B$ ，此时才能定义矩阵除法。