相关组

相关组

前面介绍的向量组都是无关组，是基的子集。现实中，向量组不可能都是无关组，还有相关组。相关组的存在极大增加了线性代数的难度，同时也增加了解决现实问题的难度。

基本性质

定义 相关组 无关组中增加任意数目的能由无关组表示的向量后，扩充后的向量组称为相关组。

二维空间中，无关组为： $V = ((1,0),(0,1))$ ，它们是基，因为任意向量能由基表示，增加任意数目的任意向量后就变为相关组。比如相关组为： $V_d = ((1,0),(0,1),(2,3),(4,5))$ 。

三维空间中，无关组为： $V = ((1,1,0),(0,1,0))$ ，增加任意数目的能由无关组表示的向量后就变为相关组。比如相关组为： $V_d = ((1,1,0),(0,1,0),(2,3,0))$ 。但注意，如果增加了不能由其线性组合表示的向量后，向量组可能是无关的，比如无关组为： $V_{d1} = ((1,1,0),(0,1,0),(2,3,1))$ 。理解相关组的难点在于，如果增加了不能由其线性组合表示的向量后，向量组也可能是相关的！比如相关组 $V_{d2} = ((1,1,0),(0,1,0),(2,3,1),(2,3,4))$ 。为什么会有矛盾的结果呢？其实并不矛盾，这在于看问题的角度，这时相关组 $V_{d2}$ 中包含的无关组不再是 $V$ ，而是 $V_{d1}$ ！此时新增加的向量 $(2,3,4)$ 能由向量组 $V_{d1}$ 表示，所以是相关组。这说明任意相关组中，存在很多无关组，因为无关组的任意子集还是无关组，但必然存在一个最大的无关组，其它向量都能由该无关组表示。

定义 极大无关组 相关组中包含的最大无关组。

相关组的极大无关组一般有多个。比如二维空间中包含若干个向量的相关组，任意两个不共线的向量组均是极大无关组。相关组 $V_{d2}$ 就包括两个极大无关组， $((1,1,0),(0,1,0),(2,3,1))$ 和 $((1,1,0),(0,1,0),(2,3,4))$ 。

重要性质 $\mathbf{0}$ 向量被相关组表示时，存在表示系数组不全为零的表示。

证，相关组有 $n$ 个向量，为 $V=(\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})$ ，根据相关组定义，必有某个向量能被其它向量表示，假设向量 $\mathbf{v_n}$ 能被其它向量表示，则 $\mathbf{v_n} = \lambda_1\mathbf{v_1}+\cdots+\lambda_{n-1}\mathbf{v_{n-1}}$ ，两边减去向量 $\mathbf{v_n}$ ，则 $\mathbf{0} = \lambda_1\mathbf{v_1}+\cdots+\lambda_{n-1}\mathbf{v_{n-1}} - \mathbf{v_n}$ 。

重要性质 如果某向量能被相关组表示，则表示必有无穷多种。

证，相关组有 $n$ 个向量，为 $V=(\mathbf{v_1},\cdots,\mathbf{v_n})$ ， $\mathbf{0}$ 向量的表示系数组为 $(\lambda_1,\cdots,\lambda_{n})$ ，不全为0，满足 $\mathbf{0} ＝ \lambda_1\mathbf{v_1}+\cdots+\lambda_{n}\mathbf{v_{n}}$ ， 某向量 $\mathbf{y}$ ，如果有线性表示，则满足 $\mathbf{y} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n}$ ，则 $\mathbf{y} = \mathbf{y} + k\mathbf{0} = \alpha_1\mathbf{v_1}+\cdots+\alpha_n\mathbf{v_n} +k(\lambda_1\mathbf{v_1}+\cdots+\lambda_{n}\mathbf{v_{n}})$ ， $k$ 取任意实数，这说明向量 $\mathbf{y}$ 有无穷多种线性表示！

总结下，某向量如果能被向量组表示，那么如果是无关组则表示唯一，如果是相关组则表示不唯一。

重要性质 向量组中如果某向量能表示为其他向量的线性组合，则是相关组。

以上几个性质都是等价的。

极大无关组、秩和向量组等价

现在从空间角度研究相关组。如同无关组，相关组的线性组合表示的所有向量的集合，构成空间。

定义 向量组的秩 向量组张成空间的维度。

无关组张成空间的维度就是无关组中向量的数量，所以秩就等于向量数量。相关组包含极大无关组，剩下的向量都能由极大无关组表示，所以相关组的线性组合能表示的所有向量集合，与极大无关组能表示的所有向量集合相同，极大无关组就是相关组张成空间的基。从生成空间的角度看，极大无关组和相关组等价。

定义 向量组等价 向量组张成相同空间。

重要性质 相关组的秩等于极大无关组中向量数量，极大无关组是相关组张成空间的基，极大无关组和相关组等价。

如何判断向量组是相关组还是无关组呢？方法和判断基的方法一样。几何上，如果没有向量“躺在”构造的集合所处的子空间内，则是无关组，每个向量都有“张角”，张开了空间的一个维度。如果无关组完整地张开了整个空间，则是基，广义体积不为0！如果有向量“躺在”构造的集合所处的子空间内，则是相关组，该向量没有“张角”。代数方面，是通过判断向量组表示 $\mathbf{0}$ 向量时，是否只有唯一全0表示，如果是，则是无关组，否则是相关组。

如何寻找相关组的极大无关组呢？几何上，向量组有 $n$ 个向量，可以向一个空集每次只增加一个向量，集合每增加一个向量后，如果新向量能张开一个维度，即与集合无关，则该向量加入集合，否则丢弃。比如第一个向量肯定可以张开一个维度（直线），加入集合；增加第二个向量时，如果该向量与第一个向量共线，则不能张开一个维度，即与集合相关，丢弃；如果不共线，则能张开一个维度，即与集合无关，加入集合，集合现在包括两个向量。依次进行，每次增加一个向量，该向量或丢弃或加入集合，直到取完所有向量。此时集合就是极大无关组，因为集合内所有向量无关且包含了所有无关的向量。由于取向量的顺序可任意，故极大无关组可有很多。代数上，通过高斯消元法可以找到极大无关组。