算法设计与分析：贪心算法 - 排课问题（DP与贪心的区别与应用）

本文参考UCAS卜东波老师算法设计与分析课程撰写

前言

前面两大章节的内容分治思想与动态规划暂时告一段落，遇到问题如何观察问题，找寻解决的方案是我们关心的点。下面的关系图诠释了问题的观察步骤与解决方案选择：

在动态规划的基础上又可以根据我们的需求选择使用高级动态规划，现在再进一步，在动态规划的基础上依据是否有贪心选择的性质，决定是否采用贪心算法。

贪心算法概念

贪心算法与动态规划十分相像，只不过在动态规划的基础上多了一层贪心选择幸性质，每一次的贪心，我们都是求局部最优解，将这些解组合成了全局最优，当然这点能够成立的前提是问题具有贪心选择性质，我们利用排课问题来具体阐述其差别。

排课问题

问题描述与分析

• 一间教室被多门课程在不同时段使用，给定第i节课 $A_i$从 $S_i$开始上，到 $F_i$结束，上第i门课的学生数量是 $W_i$，问如何排课能让尽可能多的学生上课？
  考虑问题中的矛盾点在于，时间段相交的课程会冲突，因此，安排的课必须是两两不相交的，且要使得上课学生数量最大。下面是一个例子（引用课件）
  
  • 方案1：选课集合 $S_1 = \{A_1,A_3,A_5,A_8\}$，则上课总人数 $B(S_1)= 1+4+3+3=11$
  • 方案2：选课集合 $S_2 = \{A_2,A_4,A_7,A_9\}$，则上课总人数 $B(S_2) = 5+2+1+5 = 13$
  • 方案3：…
    如何快速地找出众多方案中人数最多的，是我们的目标。显然这已经是一个最优化问题。

动态规划求解

首先，最简单的情况n=1,2的时候很好分析，所以先思考问题是否可分解子问题？鉴于前面已经确认是最优化问题，所以我们分解按照多步决策的方向分解。以下为多步决策过程：

• $A_9$上不上？

  • 上：则新的可选时间段缩短到 $A_9$上课前，递归调用剩下的所有在时间段内课程
  • 不上：则时间段不变，将 $A_9$去除，递归调用 $A_1...A_8$

  剩下的决策过程其实是一样的，但是这里有一个小问题，如何快速找出所有在 $A_9$上课前的所有课程？如果在选定 $A_9$上了之后，再循环遍历挑出来，那每一次决策都要遍历，时间复杂度过高。因此，我们预先对所有课程按照下课时间排序（实际上前面的例子已经排好序），这样我们很容易找到下课在 $A_9$上课前的课程。

这里做一些定义，我们采用了动态规划的方式，自然要定义动态转移方程。设对课程 $A_1,...,A_i$的最优选择结果是 $OPT(i)$，在第i节课上课前的最近下课课程编号是 $pre(i)$（例如 $pre(9) = 7$ ），我们得到转移方程如下：
$OPT(i) = \begin{cases} OPT(pre(i)) +W_i & 选择A_i \\ OPT(i-1) & 不选A_i \end{cases}$

上述过程是很常规的动态规划方法解决，对于每个决策有两个选项（选/不选），然后对应每个选项再递归调用。将该过程绘制成决策图如下:

容易得到伪代码如下：

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这部分较好理解，不多赘述，总时间复杂度为 $O(nlogn)$

简化问题应用贪心算法

实际上上面的DP方法已经解决了这个问题，但我们在开头的关系图中考虑了在DP的基础上能否找出贪心规则进一步使用贪心算法。在用贪心解决问题之前，先考虑另一种不一样的动态规划方法，前面我们是对每门课进行多步决策(选不选这门课)，实际上最终的解可以表示成 $X=[1,0,0,1,...,1]$的形式，其中1表示选，0表示不选。如果我们从解的角度出发，我们只考虑那些要选的课，那么第一次决策就转换成了，我第一次要选哪一门课。这有9个选项，对于每一个选项，我在对除去该课和与该课冲突的课程的子集中继续递归调用即可。将其转换成图示如下：

我们得到动态转移方程如下：
$OPT(S) = \max_{A_i\in S}\{OPT(S')+W_i\}$

其中，S是当前可选课程集合，S’是除去第i节课程和与该课程冲突的课程集合。

由此我们得到伪代码如下：

这相当于把所有的可能组合都枚举了出来，而对于集合元素数n的可能组合有 $2^n$种，因此时间复杂度为 $O(2^n)$，这与我们平常对动态规划的时间认知有所不同，主要是缺乏了DP数组存储重复计算的结果，例如我先选1，再选2和先选2再选1应该是一样的效果，这里进行了重复计算。为了引入贪心算法，下面我们考察一个简单的特例：

• 假设每门课均只有一个人上，上面的例子转换后如下所示：
  
  前面的动态规划方法枚举了所有可能情况，这是导致时间耗费很大的一个原因，而在贪心中直接选择最早下课的那门（ $A_1$），因为它必然会出现在最优解中，不再枚举其他的情况。下面是简单的证明：

  • 反证法
    假设存在一个最优解不包括 $A_1$，例如该最优解是 $A_2,A_4,A_6,A_7$，显然我们可以用 $A_1$替换掉 $A_2$，构造新的最优解 $A_1,A_4,A_6,A_7$，这里人数未发生变化（ $W_i=1$），新的最优解中就有了 $A_1$

  这个方法好啊！这相当于第一次原本要考虑1-9，现在直接扔掉2-9，选中了1，瞬间减少了时间。而在第1门被选定之后，在剩下的课程中，我们依然每次都找最早下课的，但要求选的课不能和已选的冲突（上课时间要晚于最近选择的下课时间）。这样，我们相当于只用做一次循环遍历就可以找出最优解，样例(来源课件)如下:
  

  解释一下选择的过程，首先按照下课时间对课程排序，循环遍历，发现B是最早下课，将B安排上，到C，C虽然是新最早下课，但与B冲突，不安排，A也同理，一直到E，安排上，D，F，G与E冲突，不安排，H可行，安排上。

  由此我们得到简洁的伪代码如下所示：
  

  总的时间复杂度是 $O(nlogn)$

这里首先解释一点，原本的排课问题只能通过传统的动态规划方法快速解决，无法直接应用贪心，但是如果问题变了一些条件（每个课的学生数量相同），我们就可以用贪心解决，因为每一次只用找最早下课的即可（局部最优）。贪心算法相当于解决了原问题的一个简化版本，你可能会问，那我为什么不直接用动态规划好了?首先，对比代码量，显然可以发现贪心实现地更为简洁，其次，贪心不需要额外的存储空间（DP数组），有点杀鸡不需用牛刀的感觉。

总结

本文通过排课问题，简单阐述了贪心问题与动态规划之间的联系。它们的相似点如下：

• 都针对最优化问题，因此看到最优化问题，首先想到动态规划与贪心
• 最优子结构，动态规划与贪心都要寻求最优子结构，即子问题的最优解可用于组合成原问题的最优解
• 所有的贪心算法都可以找到一个笨拙动态规划的版本（本文中是 $O(2^n)$）

而它们的不同点如下:

• 动态规划需在每一步决策时枚举所有可能的选项，只有子问题解决后，决策才能做出判断
  例如 $A_9$选与不选先要询问前面最优选择情况，文中例子是选的情况询问 $A_1...A_7$，不选的情况询问 $A_1...A_8$

• 贪心算法则不必枚举所有可能情况，它在当前决策下就直接选定了局部最优，而不考虑子问题的选择
  这一方面提高了他的速度，另一方面也让它受限较大(在本例中就是每门课学生人数都要相等)，这也是贪心选择的性质

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