c++预备知识梳理(递归)

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递归算法总结

（根据相关资料简单总结了递归算法）
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1. 程序直接或间接调用自身的编程技巧称为递归算法。
2. 直接或间接调用自身的函数称为递归函数。
3. 它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解。
4. 递归的关键在于找出递归定义和递归终止条件
5. 递归算法解题通常有三个步骤：

1）分析问题、寻找递归：找出大规模问题与小规模问题的关系，这样通过递归使问题的规模逐渐变小。
2）设置边界、控制递归：找出停止条件。
3）设计函数、确定参数：设计函数体中的操作及相关参数。

例子1： 求N！，代码如下：

int fact(int n)
{
  if(n==0 || n==1) return 1;
  else 
  return n*fact(n-1);
}

以n=3为例，调用过程如下：

  fact(3)-fact(2)-fact(1)-fact(2)-fact(3)
          递  归          回  溯

例子2：
求 a^b 的值(快速幂)
　　例如当b==5时，

typedef long long ll;
ll binaryPow(ll a, ll b){
	if(b == 1)
		return a;
	else if(b % 2 == 1)
		return a * binaryPow(a, b - 1) ;
	else{
		ll num = binaryPow(a, b/2) ;	//优化 
		return num * num ;// 不直接写成return binaryPow(a, b/2, m) * binaryPow(a, b/2, m)
}

在这道题中，最后一个else{…}中优化了，而且并没有调用两次，节省了时间复杂度。

例3：集合全排列问题。

//产生从元素k～m的全排列，作为前k—1个元素的后缀
void Perm(int list[], int k, int m)
{
	//构成了一次全排列，输出结果
	if(k==m)
	{
		for(int i=0;i<=m;i++)
			cout<<list[i]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	else
		//在数组list中，产生从元素k～m的全排列
		for(int j=k;j<=m;j++)
		{
			swap(list[k],list[j]);
			Perm(list,k+1,m);
			swap(list[k],list[j]);
		}
}

用到了递归枚举。
例3： 半数集问题：

给定一个自然数n，由n开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下。
(1) n set(n)；
(2) 在n的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；
(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。
例如，set(6)={6，16，26，126，36，136}。
半数集set(6)中有6个元素。
注意半数集是多重集。
对于给定的自然数n，编程计算半数集set(n)中的元素个数。

解：
设set(n)中的元素个数为 f(n) ，则显然有：

下面是一般的：

int comp(int n)
{
	int ans=1;
	if (n>1) for(int i=1;i<=n/2;i++)
		ans+=comp(i);
	return ans;
}

这是空间换时间，算法中显然有很多重复的子问题计算。
使用数组存储忆计算过的结果，避免重复计算，可明显改进算法的效率。

int a[1001];//计算半数集问题的递归算法—记忆式搜索
int comp(int n)
{
	int ans=1;
	if(a[n]>0)return a[n];		//已经计算
	for(int i=1;i<=n/2;i++)
		ans+=comp(i);
	a[n]=ans;				//保存结果
	return ans;
}