P6189 [NOI Online 入门组]跑步

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题目描述

分析

这道题等价于将\(n\)划分为若干个正整数之和有多少种方案

显然运用完全背包可以解决这个问题，但完全背包的时间复杂度为\(O(n^2)\)，而题目给定的\(n\leq10^5\)所以考虑进行优化，我们进行分块处理，将所有的数分为小于等于\(\sqrt{n}\)的和大于\(\sqrt n\)的，显然小于等于\(\sqrt n\)的部分可以用完全背包来处理，而大于\(\sqrt n\)的数显然不可能有多于\(\sqrt n\)个，所以设\(f_{i,j}\)表示\(i\)个大于\(\sqrt n\)的数和为\(j\)的方案数，那么有\(f_{i,j}=f_{i,j-\sqrt n}+f_{i,j-i}\)转移方程中第一项表示拆分序列中加上一个数，第二项表示所有数加1，这样就不会遗漏

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+5;
int dp1[N],dp2[1005][N];

int main()
{
    int n,m,p;
    scanf("%d%d",&n,&p);
    m=sqrt(n)+1;
    dp1[0]=1;
    for(int i=1;i<m;i++)
        for(int j=i;j<=n;j++)
            dp1[j]+=dp1[j-i],dp1[j]%=p;
    dp2[0][0]=1;
    for(int i=1;i<m;i++)
        for(int j=i;j<=n;j++)
        {
            dp2[i][j]=dp2[i][j-i];
            if( j >= m ) dp2[i][j]+=dp2[i-1][j-m];
            dp2[i][j]%=p;
        }
    int ans = 0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        long long sum = 0;
        for(int j=0;j<m;j++) sum+=dp2[j][n-i];
        sum%=p;
        ans=(ans+dp1[i]*sum)%p;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}