python - 二叉树

由于树可以转换为二叉树，故直接进行二叉树的学习。

二叉树

二叉树最多只有左子树和右子树两个子树，二叉树的性质如下：

• 在二叉树的第 $i$层最多有 $2^{i-1}$个节点
• 深度为 $k$的二叉树最多有 $2^{k-1}$个节点
• 对于任意一棵二叉树，如果叶节点数为 $N_{0}$，而度数为2的节点总数为 $N_{2}$，则有 $N_0 = N_2 + 1$
• 具有 $n$个节点的完全二叉树的深度必为 $\log2(n+1)$
• 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为 $i$的结点，其左孩子编号必为 $2i$，其右孩子编号必为 $2i＋1$；其双亲的编号必为 $i/2$（除 $i＝1$外）

常用的二叉树有满二叉树和完全二叉树，满二叉树指除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点二叉树；完全二叉树指当二叉树的深度为 $h$，除第 $h$ 层外，其它各层 $(1 \sim h-1)$ 的结点数都达到最大个数，第 $h$ 层所有的结点都连续集中在最左边的二叉树。

满二叉树

完全二叉树

二叉树的实现：

from collection import deque
# 二叉树结点
class TreeNode(object):
	def __init__(self, x):
	   self.val = x
	   self.left = None
	   self.right = None
# 二叉树
class Tree(object):
	def __init__(self):
	   self.root = None

二叉树层序遍历：若树为空，则返回空，zh否则从根节点开始访问，从上而下逐层遍历。在同一层中按从左到右的顺序对节点逐个访问。若二叉树如下所示，则层序遍历的顺序为：ABCDEFGHI。

# 层序遍历
def bfs(self):
   ret = []
   queue = deque([self.root])
   while queue:
       node = queue.popleft()
       if node:
           ret.append(node.val)
           queue.append(node.left)
           queue.append(node.right)
   return ret

二叉树前序遍历：若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。若二叉树如上图所示，遍历的顺序为：ABDGHCEIF。

# 前序遍历:根-左-右
def pre_traversal(self):
   ret = []
   def traversal(head)：
   	if not head:
           return 
       ret.append(head.val)
       traversal(head.left)
       traversal(head.right)
   traversal(self.root)
   
   return ret

二叉树中序遍历：若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。若二叉树如上图图所示，遍历的顺序为：GDHBAEICF。

中序遍历的结果一个很重要的特性：遍历结果自然就是升序的。

# 中序遍历：左-根-右
def in_traversal(self):
   ret = []

   def traversal(head):
       if not head:
           return
       traversal(head.left)
       ret.append(head.val)
       traversal(head.right)

   traversal(self.root)
   return ret

二叉树后序遍历：若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访向左右子树，最后是访问根结点。若二叉树如上图所示，遍历的顺序为：GHDBIEFCA。

# 后序遍历：左-右-根
def post_traversal(self):
   ret = []

   def traversal(head):
       if not head:
           return
       traversal(head.left)
       traversal(head.right)
       ret.append(head.val)

   traversal(self.root)
   return ret

根据前序遍历和中序遍历重建二叉树

df construct_tree(preorder=None, inorder=None):
	if not preorder or not inorder:
	   return None
	
	index = inorder.index(preorder[0])
	# 左子树的中序遍历序列
	left = inorder[0:index]
	# 右子树的中序遍历序列
	right = inorder[index+1:]
	# 返回根节点
	root = TreeNode(preorder[0])
	
	# 递归调用重建二叉树
	root.left = construct_tree(preorder[1:1+len(left)], left)
	root.right = construct_tree(preorder[-len(right):], right)
	return root