蓝桥杯 算法提高 和谐宿舍2

题目描述

题目描述
        我的某室友学过素描，墙上有n张他的作品。这些作品都是宽度为1，高度不定的矩形，从左到右排成一排，且底边在同一水平线上。
        宿舍评比就要来了，为了及格，我们决定买不多于m块的矩形木板，把这些作品和谐掉。要求木板也从左到右排成一排，且底边与作品的底边在同一水平线上。
        在能够把所有作品和谐掉的前提下，我们希望这些木板的面积和最小，问最小面积和。
 
输入格式
        第一行两个数n和m，表示作品数和木板数；
        第二行n个数Hi，表示从左到右第i个作品的高度。
输出格式
        一行一个数ans，表示答案。
样例输入
        5 2
        4 2 3 5 4
样例输出:
        22
数据规模和约定
        对于30%的数据：1<=n，m<=10；
        对于100%的数据：1<=n，m<=100，1<=Hi<=10000。

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分析

• 状态:
  $dp(i, j, k)$ 表示 $i$ 到 $j$ 的闭区间内给k个木板能得到最小面积。

• 状态转移方程:
  $dp(i, j, k) = min\{max\{a[i]....a[p]\} + dp(p + 1, j, k - 1)\}$

• 初始状态: (只有木板全部用完才能是最优解)
  当 $j< i$ 且 $k =0$ 时, $dp(i, j, k)=0$, 因为没有剩余剩余素描, 木板也用完。
  当 $j<i$ 且 $k \neq 0$ 时, $dp(i, j, k)=INF$, 因为没有剩余素描, 但是模板没有用完。
  当 $i\leqslant j$ 且 $k == 0$ 时, $dp(i, j, k)=INF$, 因为有剩余素描, 但是没有木板了。
  当 $i\leqslant j$ 且 $k \geqslant (j - i + 1)$ 时, $dp(i, j, k)=INF$, 因为有剩余素描, 但板子过多。

  INF设置为100 * 10000 + 5, 即面积绝对不可能取得的值即可, 使用INT_MAX 存在溢出风险。

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记忆化搜索:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 1000005;
int dp[101][101][10001];
int a[101], n, m;
// [i, j]
int dfs(int i, int j, int k)
{
    // 剪枝
    // 还有剩余素描, 但没有板子了
    if(j >= i && k == 0) return dp[i][j][k] = INF;
    
    // 还有剩余素描, 但是板子过多
    if(j >= i && k > (j - i + 1)) return dp[i][j][k] = INF;
    
    // 素描覆盖完, 但是还有剩余的板子
    if(i > j && k != 0) return INF;

    // 素描覆盖完, 且没有剩余板子了
    if(i > j && k == 0) return 0;

    // 在 i, j, 且剩余k块儿木板的最优解
    if(dp[i][j][k] != 0) return dp[i][j][k];
    int ans = INF;
    for(int L = i; L <= j; L++)
    {
        int now = INT_MIN;
        for(int t = i; t <= L; ++t)
        {
            now = max(now, a[t]);
        }
        now = now * (L - i + 1);
        ans = min(ans, now + dfs(L + 1, j, k - 1));
    }
    // 记忆化
    return dp[i][j][k] = ans;
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("ADV-298.in", "r", stdin);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i];
    int ans = dfs(1, n, m);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}