素数的多种求法(普通筛、线性筛)+牛客寒假集训3H题

判断素数的方法有以下几种：
方法一： 暴力，官方叫试除法
1）根据素数的定义给定一个数n，i从2开始取值知道n-1，若n%i != 0,那么n即为素数。进一步思考——有必要遍历到n-1吗？
我们知道，除了1以外，任何合数最小的因子是2，那么最大的因子就是n/2,所以遍历到n/2就足够了。

int n;
if(n==1 || n==0)	printf("0");
for(int i=2;i<=n/2;i++){
	if(n%i==0){
		printf("0");
		return 0;
	}
}
printf("1");

2）在以上的基础上，有数学证明表明只需遍历到 $\sqrt{n}$即可 ，具体证明可百度，不赘述，代码类似上面的

---

高级用法来了~

筛——普通筛和线性筛
1）普通筛——埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法（时间复杂度 nln(ln n) ）

简单来讲，就是把不大于 $\sqrt{n}$的所有的素数倍数剔除，剩下的就是素数

举个栗子：求出16以内的所有素数(一个✳表示划去过一次)

• 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
  先判断出了第一个素数：2，那么下一步，划去2的倍数(本身除外)
• 2 3 4^* 5 6^* 7 8^* 9 10^* 11 12^* 13 14^* 15 16^*
  如果这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则继续第二步。在本例中15大于2的平方，所以继续，划去3的倍数
• 2 3 4^* 5 6^** 7 8^* 9^* 10^* 11 12^** 13 14^* 15^* 16^*
  13大于3的平方，继续划去5的倍数
• 2 3 4^* 5 6^* 7 8^* 9 10^** 11 12^* 13 14^* 15^* 16^*
  13小于5的平方，故16以内的素数是2 3 5 7 11 13，程序结束,输出所有没有星号标记过的数字。

void Prime(long long n){
	for(i=0;i<=n;i++){
		prime[i] = 1;
	}
	//上面的错误写法：memset(prime,1,sizeof(prime));
	//假设全为素数,初始化 
	prime[0] = prime[1] = 0;
	//0和1均不是素数 
	for(i=2;i<sqrt(n);i++){
		if(!prime[i])	continue;
		//划去素数i的倍数(不包括本身，故从2i)
		for(j=i*2;j<=n;j+=i){
			prime[j] = 0;
		}
	}
	for(i=0;i<=n;i++){
		if(prime[i]==1){
			cout << i <<" ";
		}
	}
}

(贴一个小贴士：memset在初始化int类型数组时只能初始化为0或-1，不能初始化为1)
2)线性筛
在介绍上面的埃氏筛时，时间复杂度为O( nlg(lgn) ),而线性筛与之相比，时间复杂度为线性的，即O(n)。
在求解普通筛时，我们发现，有一些数字被划去了两次(即被重复赋值)，所以复杂性稍微高一点。
在上例中，6和12被剔除了两次，重复赋值。防止重复赋值，线性筛用每一个数的最小质因数来筛去(每一个合数的最小质因数唯一)
如果不明白，那么举个栗子：30=2x3x5，在埃氏筛中，它会被2，3，5各筛一次，但是在线性筛中，只会被2筛一次，因为2是30的最小质因数。

//该数组元素下标与自然数一一对应，其值代表是否为素数，是为0，不是为1
//如a(2)应该为0，因为2是素数,a(4)=1，因为4不是素数
//prime数组存储已求的素数，a数组用0/1来判断该数是否被划去，num记录储存的素数数目
memset(a,0,sizeof(a));
memset(prime,0,sizeof(prime));
a[0]=a[1]=1;num=0;
for(int i=2;i<n;i++){
	if(!a[i])	prime[num++]=i;
	for(int j=0;j<num && i*prime[j]<n;j++){
	//筛去以prime[j]为最小素因子的数
		a[i*prime[j]]=1;
		//核心
		if(!i%prime[j])	break;
	}
}
for(int i=0;i<num;i++){
	printf("%d ",prime[i]);
}

(太菜了，这个线性筛花了好长时间才弄明白，最后主要还是靠一步步debug观察数组的变化，再结合代码才理解的orz)

---

再贴一道牛客寒假算法基础集训营3的H题，思路很简单，结合素数筛判断即可。
题目传送门
ac代码如下：

#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
const int Max = 100050;
using namespace std;
int s[Max],a[Max],prime[Max];
void Prime(long long n){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        prime[i] = 1;
    }
    //假设全为素数,初始化
    prime[0] = prime[1] = 0;
    //0和1均不是素数
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){
        if(!prime[i])   continue;
        //划去素数i的倍数(不包括本身，故从2i)
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i){
            prime[j] = 0;
        }
    }
    prime[1]=1;
}
  
int main(){
    int n,k,index;
    cin>>n >> k;
    memset(s,0,sizeof(s));
    Prime(n); //打表
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int count=0;
        for(int j=1;j*j<=i;j++){
            if(i%j==0){
                if(!prime[j])
                    count++; 
                if(!prime[i/j])
                    count++;
                if(j*j == i && !prime[j])
                    count--;
            }
        }
        s[count]++;
    }
    for(int i=1;i<=k;i++){
        cin >> index;
        cout << s[index]<<endl;
    }
    return 0;
}