GDUT 2020寒假训练 dp专题 E
原题链接
题目
Problem Description
某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统.但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能超过前一发的高度.某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭.由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹.
怎么办呢?多搞几套系统呗!你说说倒蛮容易,成本呢?成本是个大问题啊.所以俺就到这里来求救了,请帮助计算一下最少需要多少套拦截系统.
Input
输入若干组数据.每组数据包括:导弹总个数(正整数),导弹依此飞来的高度(雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数,用空格分隔)
Output
对应每组数据输出拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统
样例
input
8 389 207 155 300 299 170 158 65
output
2
思路
首先，由题意一波分析（偏序集-Dilworth定理），得出结论：只需要求出这串序列的最长上升子序列的个数即可。
dp
定义状态dp[i]表示从第一个数至第i个数的最长上升序列的元素个数
那么状态转移方程就是
if(num[i]>num[j])
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
类似01背包，满足元素的大小关系后，有取和不取两种选择。
那么这样的话时间复杂度O(n^2)
代码
#include<iostream>
#include<memory.h>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int num[maxn];
int dp[maxn];
int main()
{
int n;
while(cin>>n){
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>num[i];
}
dp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
dp[i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)
{
if(num[i]>num[j])
{
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
}
}
}
int maxx=dp[1];
for(int i=2;i<=n;i++)
{
maxx=max(maxx,dp[i]);
}
cout<<maxx<<endl;
}
return 0;
}
贪心
换一种想法，直接对序列进行操作，数组lis表示当前的不上升序列，那么每次读入一个新的数字x，若这个数x比lis的最后一个元素还要大，那么久直接加入到lis序列中；若这个数x小于最后一个元素，那么就在这个序列中找是否当前的数能替换掉其中的一个数字。替换的规则基于贪心的思想，在lis序列中找到比x要大的第一个数，并将它替换为x，这样的话有利于在后续插入新的元素使徐磊变得更长。
那么用vector实现lis序列，在读取元素的过程时间复杂度是O(n)，那么在查找比x大的第一个数的过程采用lower_bound函数时间复杂度O（logn），总体时间复杂度O(nlogn)，而且在插入元素的时候是读取一个插入一个，所以不用为读取的序列另开辟空间来保存。
最后lis的size就是序列长度，而且采取这种方法还能直接得到最终的最长上升序列，直接输出lis中的元素即可。
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int main()
{
int n;
while(cin>>n)
{
vector<int> lis;
lis.clear();
int num;
cin>>num;
lis.push_back(num);
for(int i=2;i<=n;i++)
{
cin>>num;
if(num>lis.back())
{
lis.push_back(num);
continue;
}
if(num<lis.back())
{
*lower_bound(lis.begin(),lis.end(),num)=num;
}
}
cout<<lis.size()<<endl;
}
return 0;
}
