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一、蚁群算法简介
蚁群算法是一种用来寻找优化路径的概率型算法。它由Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中提出，其灵感来源于蚂蚁在寻找食物过程中发现路径的行为。 这种算法具有分布计算、信息正反馈和启发式搜索的特征，本质上是进化算法中的一种启发式全局优化算法。
蚂蚁找到最短路径要归功于信息素和环境，假设有两条路可从蚁窝通向食物，开始时两条路上的蚂蚁数量差不多：当蚂蚁到达终点之后会立即返回，距离短的路上的蚂蚁往返一次时间短，重复频率快，在单位时间里往返蚂蚁的数目就多，留下的信息素也多，会吸引更多蚂蚁过来，会留下更多信息素。而距离长的路正相反，因此越来越多的蚂蚁聚集到最短路径上来。
蚂蚁具有的智能行为得益于其简单行为规则，该规则让其具有多样性和正反馈。在觅食时，多样性使蚂蚁不会走进死胡同而无限循环，是一种创新能力；正反馈使优良信息保存下来，是一种学习强化能力。两者的巧妙结合使智能行为涌现，如果多样性过剩，系统过于活跃，会导致过多的随机运动，陷入混沌状态；如果多样性不够，正反馈过强，会导致僵化，当环境变化时蚁群不能相应调整。
二、蚁群算法相关名词解释及参数设置
（1）名词解释：
1.蚁群：搜索空间的一组有效解（表现为种群规模m）。
2.觅食空间：问题的搜索空间（表现为问题的规模、解的维数n）。
3.信息素：信息素浓度变量。
4.蚁巢到食物的一条路径：问题的最优解。
（2）参数的经验设置
1.蚁群数目m：影响着算法的搜索能力和计算量。蚂蚁数目过多时，每轮选代的计算量大、且被搜索过的路径上信息素变化比较平均，此时算法的全局随机搜索能力得到增强，但收敛速度减慢；蚁群数目过少时，算法的探索能力变差，容易出现早熟现象。特别是当问题规模很大时，算法的全局寻优能力会变得十分糟糕。
2.信息素权重α 与启发式信息权重β：决定算法搜索的导向，影响算法的搜索能力。α越小，最邻近城市被选中的概率越大，蚂蚁越注重"眼前利益”，α=0时，算法等同于随机贪婪算法；β越小，蚂蚁越倾向于根据信息素浓度确定路径，算法收敛越快，β=0时,构建出的最优路径与实际目标有着较大差异，算法的性能比较情糕。
3.信息素挥发因子ρ ：影响蚂蚁个体之问相互影响的强弱，关系到算法的全局搜索能力和收敛速度。ρ较大时,信息素挥发速率大，那些从未被蚂蚁选择过的边上的信息索急剧减小到接近0，降低算法的全局探索能力；ρ较小时，算法具有较高的全局搜索能力，但是由于各个路径的信息素浓度差距拉大较慢，算法收敛速度较慢。
4.初始信息素量γ 0：决定算法在初始化阶段的探索能力，影响算法的收做速度。γ 0太小，未被蚂蚁选择过的边上信息素太少，蚂蚁很快就全部集中在一 条局部最优的路径上，算法容易早熟；γ 0太大，信息素对搜索方向的引导能力增长得十分缓慢，算法收慢。
5.终止条件：决定算法运行何时结束由其体的应用和问题本身的确定。将最大循环数设定为500、1000、 5000，或者最大的函数评估次数，等等；也可以使用算法求解得到一个可接受的解作为终止条件；或者是当算法在很长一段迭代中没有得到任何改善时，可以终止算法。
三、蚁群算法流程
四、matlab实现及分析
1.先根据上述所说的蚁群算法参数的经验设置，先确定alpha=1，beta=4，然后运行比较rho=0.5和rho=2的结果
（1）alpha=1，beta=4，rho=0.5的结果：
（2）alpha=1，beta=4，rho=2的结果：
（3）结论：比较figure1的两张图可知，当alpha=1，beta=4的前提条件下，rho=0.5会比rho=2得到的最短距离比较小；比较figure2的两张图可知，当alpha=1，beta=4的前提条件下，rho=0.5的迭代次数在40左右就开始收敛了，而rho=2的迭代次数在75左右才开始收敛，由此可知，rho越小算法的收敛程度越快，算法综合性较好。
2.先根据第一问的前提及蚁群算法参数的经验设置，先确定rho=0.5，然后alpha=1，beta=4，然后运行比较。
（1）alpha=1，beta=4，rho=0.5的运行结果如上述1中的“（1）alpha=1，beta=4，rho=0.5”的结果所示。
（2）alpha=4，beta=4，rho=0.5的运行结果：
（3）结论：比较figure1的两张图可知，当beta=4，rho=0.5的前提条件下，alpha=1会比alpha=4得到的最短距离比较小；比较figure2的两张图可知，当beta=4，rho=0.5的前提条件下，alpha=1的迭代次数在40左右就开始收敛了，而alpha=4的迭代次数在10左右才开始收敛，由此可知，alpha越大迭代次数越少，收敛速度越快算法综合性较好。
3.先根据第一问的前提及蚁群算法参数的经验设置，先确定alpha=1，rho=0.5，然后beta=1，beta=4运行比较。
（1）alpha=1，beta=4，rho=0.5的运行结果如上述1中的“（1）alpha=1，beta=4，rho=0.5”的结果所示。
（2）alpha=1，beta=1，rho=0.5，的运行结果：
（3）结论：比较figure1的两张图可知，当alpha=1，rho=0.5的前提条件下，beta=4会比beta=1得到的最短距离比较小；比较figure2的两张图可知，当alpha=1，rho=0.5的前提条件下，beta=4的迭代次数在40左右就开始收敛了，而beta=1的迭代次数在55左右才开始收敛，由此可知，beta越大迭代次数越少，收敛速度越快，算法综合性较好。
五、蚁群算法的优点
(1)采用正反馈机制，使得搜索过程不断收敛，最终逼近最优解。
(2)每个个体可以通过释放信息素来改变周围的环境，且每个个体能够感知周围环境的实时变化，个体间通过环境进行间接地通讯。
(3)搜索过程采用分布式计算方式，多个个体同时进行并行计算，大大提高了算法的计算能力和运行效率。
(4)启发式的概率搜索方式不容易陷入局部最优，易于寻找到全局最优解。
六、疑问
同一个数据，在不更改alpha （信息素重要程度因子）beta （启发函数重要程度因子）rho（信息素挥发因子）的情况下，多次运行代码，得到的迭代次数一样，但是得到的最短距离和最短路径不一样，而且会随着运行次数增加，每次都可以找到比以前更优的最短距离和最短路径，这是为什么呢？同样一个数据下，得到的最短路径可以不唯一，但是得到的最短路径不应该是一样的吗？不是很明白，希望有解答。
如下图为同一数据下多次运行的结果图（什么都没有更改，只是重新运行了）：
第一次运行结果：
第二次运行结果：
七、代码附件
%% 旅行商问题(TSP)优化
%% 清空环境变量
clear all
clc
%% 导入数据
load citys_data.mat
%% 计算城市间相互距离
fprintf('Computing Distance Matrix... \n');
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
for j = 1:n
if i ~= j
D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
else
D(i,j) = 1e-4;
end
end
end
%% 初始化参数
fprintf('Initializing Parameters... \n');
m = 50; % 蚂蚁数量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 1; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.5; % 信息素挥发因子
Q = 1; % 常系数
Eta = 1./D; % 启发函数
Tau = ones(n,n); % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n); % 路径记录表
iter = 1; % 迭代次数初值
iter_max = 150; % 最大迭代次数
Route_best = zeros(iter_max,n); % 各代最佳路径
Length_best = zeros(iter_max,1); % 各代最佳路径的长度
Length_ave = zeros(iter_max,1); % 各代路径的平均长度
%% 迭代寻找最佳路径
figure;
while iter <= iter_max
fprintf('迭代第%d次\n',iter);
% 随机产生各个蚂蚁的起点城市
start = zeros(m,1);
for i = 1:m
temp = randperm(n);
start(i) = temp(1);
end
Table(:,1) = start;
% 构建解空间
citys_index = 1:n;
% 逐个蚂蚁路径选择
for i = 1:m
% 逐个城市路径选择
for j = 2:n
tabu = Table(i,1:(j - 1)); % 已访问的城市集合(禁忌表)
allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
allow = citys_index(allow_index); % 待访问的城市集合
P = allow;
% 计算城市间转移概率
for k = 1:length(allow)
P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
end
P = P/sum(P);
% 轮盘赌法选择下一个访问城市
Pc = cumsum(P);
target_index = find(Pc >= rand);
target = allow(target_index(1));
Table(i,j) = target;
end
end
% 计算各个蚂蚁的路径距离
Length = zeros(m,1);
for i = 1:m
Route = Table(i,:);
for j = 1:(n - 1)
Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
end
Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
end
% 计算最短路径距离及平均距离
if iter == 1
[min_Length,min_index] = min(Length);
Length_best(iter) = min_Length;
Length_ave(iter) = mean(Length);
Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
else
[min_Length,min_index] = min(Length);
Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
Length_ave(iter) = mean(Length);
if Length_best(iter) == min_Length
Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
else
Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
end
end
% 更新信息素
Delta_Tau = zeros(n,n);
% 逐个蚂蚁计算
for i = 1:m
% 逐个城市计算
for j = 1:(n - 1)
Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
end
Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
end
Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
% 迭代次数加1，清空路径记录表
% figure;
%最佳路径的迭代变化过程
[Shortest_Length,index] = min(Length_best(1:iter));
Shortest_Route = Route_best(index,:);
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
pause(0.3);
iter = iter + 1;
Table = zeros(m,n);
% end
end
%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
%% 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
text(citys(i,1),citys(i,2),[' ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),' 起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),' 终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')
