动态规划入门&字符串相关

前言

• 什么是动态规划？

  • 动态规划是求解决策过程最优化的数学方法。把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。

• 什么时候要用动态规划？

  • 如果要求一个问题的最优解（通常是最大值或者最小值），而且该问题能够分解成若干个子问题，并且小问题之间也存在重叠的子问题，则考虑采用动态规划。

• 动态规划的前提

  1. 最优化原理（最优子结构性质）
     • 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
  2. 无后效性
     • 将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策
  3. 子问题的重叠性

• 解题步骤

  1.确定题意要求的最优解是什么
  2.确定已知量有哪些
  3.根据已知量确定dp的状态有哪些维
  4.从下而上的分析问题，找到关联
  5.确定状态转移方程
  6.确定底层边界的答案
  如果出现方程无法确定的情况，比如子结构无法最优，有后效性的时候先考虑换状态

例题

一、字符串相关

• 小概念

  • 对于一个字符串而言，比如：pikachu

  • 字串（substring）：在字符串中，取出一块（连续的），如：pik, ach, kac等

  • 子序列（subsequence）：从字符串中，顺序取出字符，但是可以不连续：如：pau, kch, icu等

  • 一个长度为n的字符串有[n*(n+1)]/2子串，有2^n-1子序列？（不考虑空串）

• 最长公共子序列

  • 给两个字符串，求他们的最长公共子序列长度

  • 例如abcd和befgc的最长公共子序列的长度是2（bc）

  • 状态：设数组dp[m][n]来表示长度为m的str1和长度为n的str2的最长公共子序列长度

  • if (m[i] == n[j]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
    else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

int dp[10000][10000];

int main() {
    string m, n;
    cin >> m >> n;
    int cntm = m.size();
    int cntn = n.size();
    m = "\0" + m;
    n = "\0" + n;

    for (int i = 1; i <= cntm; i++)
        for (int j = 1; j <= cntn; j++) {
            if (m[i] == n[j]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    p(dp[cntm][cntn]);
}

/* 建模
 *    b e f g c
 * a  0 0 0 0 0
 * b  1 1 1 1 1
 * c  1 1 1 1 2
 * d  1 1 1 1 2
 */

• 最长递增子序列

  • 给定一个数列，求他的最长递增子序列长度

  • 例如：1 2 3 1 2 10的最长递增子序列长度是4（1 2 3 10）

  • 状态：dp[n]代表1-n的最长递增子序列长度

  • 方程：
    dp[n]=1;
    if(a[n]>a[m]) dp[n]=max(dp[n],dp[m]+1); m＜n

const int maxn = 1e6 + 7;
int n, a[maxn], dp[maxn];//a[]储存输入的值，dp[n]为以a[n]结尾的最长递增子序列长度


int main() {
    sc(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) sc(a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (a[i] > a[j])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);//线段树优化，dp[i]=max{dp[j]}+1;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << a[i] << " ";
    cout << endl;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << dp[i] << " ";
}