神奇的珂朵莉树

珂朵莉镇楼qwq

算法基础

这个算法的基础很神奇，大家想一下这样一个问题：

有一个长度为 $n$ 的序列，随机选出一个区间，这个区间的期望长度是？

（要是会的话就跳过做法吧）

做法

考虑左端点在 $1$ 位置的情况，那么区间期望长度为： $\frac {1+n} 2$，这种情况的出现频率为 $n$。

考虑左端点在 $2$ 位置的情况，那么区间期望长度为： $\frac n 2$，这种情况的出现概率为 $n-1$。

……

那么最终的期望就是
$\begin{aligned} &\frac {\frac {(1+n) \times n} 2 + \frac {n \times (n-1)} 2 + \frac {(n-1) \times (n-2)} 2...+\frac {(1+1)\times 1} 2} {\frac {n(n+1)} 2}\\ &=\frac {(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+2\times 1} {n(n+1)}\\ &=\frac {1\times 2 +2\times 3 + 3\times 4 +...} {n(n+1)}\\ &=\frac {(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)} {n(n+1)}\\ &=\frac {n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2} {n(n+1)}\\ &=(2n+1)/6+1/2\\ &=\frac 1 3 n +\frac 1 6+\frac 1 2 \end{aligned}$

舍去后面两个跟没有一样的分数，可以得出，随机选出一个区间，这个区间的期望长度为 $\frac 1 3 n$。

这便是珂朵莉树的基础。

正题

使用前提

使用珂朵莉树的前提有两个：

1. 数据随机（这样上面那个性质就可以用了！）
2. 有将某个区间都修改为某个值这样的操作

核心思想

将序列中值相同的一段区间压成一个点。

比如说，有一个序列 $1~1~1~1~1~1~2~2~3~3~3~3$

那么会压成三个点，这三个点是： $(1,6,1)~,~(7,8,2)~,~(9,12,3)$。

其中 $(a,b,c)$ 表示序列中区间 $[a,b]$ 的值都是 $c$。

然后这些点我们用 $set$ 维护一下就好了。

因为有将某个区间都修改为某个值这样的操作，并且数据随机，那么我们每一次就可以将整个序列中长度为 $\frac 1 3 n$ 的区间改成一个相同的值，然后我们可以将这个区间压成一个点。

然后因为操作种数不是很多，以模板题为例，只有 $4$ 种操作，那么在随机情况下，每 $4$ 个操作里面就有一个区间修改操作，那么这就注定了这个序列不会被压成太多点，点数大约是 $log(n)$ 个的，然后算上 $set$ 的时间复杂度，那么总的时间复杂度就是 $O(nlog(n)log(log(n)))$。

先贴出点的结构体代码：

struct node{
	int l,r;
	mutable ll val;
	//这个mutable是为了保证我们可以在set里面修改它
	node(int L,int R=0,ll v=0):l(L),r(R),val(v){};
	bool operator <(const node b)const{return l<b.l;}//用来给set排序
};

核心操作

split

$split(pos)$ 这样的操作是将包含 $pos$ 这个位置的点拆成分别管理 $[l,pos-1]$ 和 $[pos,r]$ 的两个点，并且返回管理 $[pos,r]$ 的这个点。这个返回值后面有大用处。

代码如下：

//完整代码中已经将it这个东西define成set<node>::iterator了
it split(int pos)
{
	it p=f.lower_bound(node(pos));//找到第一个左端点大于等于pos的点
	if(p!=f.end()&&p->l==pos)return p;//假如找到的这个点刚好以pos作为左端点，那么就不用拆了
	p--;//否则将p--，找到上一块，这一块一定包含pos
	int l=p->l,r=p->r;ll val=p->val;//记录下这一块的信息
	f.erase(p);//删掉这一块
	f.insert(node(l,pos-1,val));//分成两块加回去
	return f.insert(node(pos,r,val)).first;
	//set的insert函数是有返回值的，会返回一个pair，其中first是插入的值在set中的指针，second是 是否插入成功
}

assign

这是区间推平操作，也就是上面的将某个区间都修改为某个值。

代码如下：

void assign(int l,int r,int val)
{
	it x=split(l),y=split(r+1);
	//分裂出l,r位置，注意这里的y是指向包含r+1这个位置的，而不是包含r这个位置的
	f.erase(x,y);//将管理[l,r]这一个区间的所有点删除，下面会讲这个函数
	f.insert(node(l,r,val));//压成一个点加回进去
}

$set$ 是一个相当方便的东西，里面这个 $erase$ 函数就有不少用法，上面用到的是 $erase(first,last)$，他会帮你删除 $set$ 中的区间 $[first,last)$。

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核心操作讲完了，接下来顺便讲讲模板题的剩下两个操作。

求区间第k小

由于点数大约是 $log(n)$ 级别的，所以我们直接把这个区间掏出来暴力排序找就是了。

代码如下：

struct point{
	ll x;int y;//表示x这个值出现过y次
	point(ll xx,int yy):x(xx),y(yy){}
	bool operator <(const point b)const{return x<b.x;}
};
ll findkth(int x,int y,int k)
{
	it l=split(x),r=split(y+1);//依然要先分离出这个区间
	vector<point>vec;
	for(;l!=r;l++)//遍历这个区间，用vector存起来
	vec.push_back(point(l->val,l->r-l->l+1));
	sort(vec.begin(),vec.end());//排序
	for(int i=0;i<vec.size();i++)
	{
		k-=vec[i].y;//减去出现次数
		if(k<=0)return vec[i].x;//减没了说明就是这个数
	}
}

求区间 $x$ 次方对 $y$ 取模的值

依然是暴力乱做：

ll ksm(ll x,int y,int mod)
{
	ll re=1,tot=x%mod;
	while(y)
	{
		if(y&1)re=re*tot%mod;
		tot=tot*tot%mod;
		y>>=1;
	}
	return re;
}
ll ask(int x,int y,int p,int mod)
{
	ll ans=0;
	it l=split(x),r=split(y+1);//分离
	for(;l!=r;l++)//遍历
	ans=(ans+(ll)(l->r-l->l+1)%mod*ksm(l->val,p,mod))%mod;//求解
	return ans;
}

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最后是模板题的 $AC$ 代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define it set<node>::iterator

int n,m,vmax;
ll seed;
int rnd()
{
	int re=seed;
	seed=(seed*7ll+13ll)%1000000007;
	return re;
}
struct node{
	int l,r;
	mutable ll val;
	node(int L,int R=0,ll v=0):l(L),r(R),val(v){};
	bool operator <(const node b)const{return l<b.l;}
};
set <node>f;
it split(int pos)
{
	it p=f.lower_bound(node(pos));
	if(p!=f.end()&&p->l==pos)return p;
	p--;
	int l=p->l,r=p->r;ll val=p->val;
	f.erase(p);
	f.insert(node(l,pos-1,val));
	return f.insert(node(pos,r,val)).first;
}
void assign(int l,int r,int val)
{
	it x=split(l),y=split(r+1);
	f.erase(x,y);
	f.insert(node(l,r,val));
}
void add(int l,int r,int val)
{
	it x=split(l),y=split(r+1);
	for(;x!=y;x++)x->val+=val;
}
struct point{
	ll x;int y;
	point(ll xx,int yy):x(xx),y(yy){}
	bool operator <(const point b)const{return x<b.x;}
};
ll findkth(int x,int y,int k)
{
	it l=split(x),r=split(y+1);
	vector<point>vec;
	for(;l!=r;l++)
	vec.push_back(point(l->val,l->r-l->l+1));
	sort(vec.begin(),vec.end());
	for(int i=0;i<vec.size();i++)
	{
		k-=vec[i].y;
		if(k<=0)return vec[i].x;
	}
}
ll ksm(ll x,int y,int mod)
{
	ll re=1,tot=x%mod;
	while(y)
	{
		if(y&1)re=re*tot%mod;
		tot=tot*tot%mod;
		y>>=1;
	}
	return re;
}
ll ask(int x,int y,int p,int mod)
{
	ll ans=0;
	it l=split(x),r=split(y+1);
	for(;l!=r;l++)
	ans=(ans+(ll)(l->r-l->l+1)%mod*ksm(l->val,p,mod))%mod;
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%d %d %lld %d",&n,&m,&seed,&vmax);
	for(int i=1,x;i<=n;i++)
	f.insert(node(i,i,rnd()%vmax+1));
	f.insert(node(n+1,n+1,0));//处理边界
	for(int i=1,op,l,r,x,y;i<=m;i++)
	{
		op=rnd()%4+1;l=rnd()%n+1;r=rnd()%n+1;
		if(l>r)swap(l,r);
		if(op==3)
		{
			x=rnd()%(r-l+1)+1;
			printf("%lld\n",findkth(l,r,x));
		}
		else
		{
			x=rnd()%vmax+1;
			if(op==1)add(l,r,x);
			if(op==2)assign(l,r,x);
		}
		if(op==4)
		{
			y=rnd()%vmax+1;
			printf("%lld\n",ask(l,r,x,y));
		}
	}
}