数值分析之Neville's Algorithm

Neville插值方法详解

牛顿的插值方法涉及两个步骤：计算系数，随后评估多项式。 如果插值运作良好使用相同的多项式在x的不同值处重复执行。 要是一点是内插，一种单步计算插值的方法，如Neville的算法，是一个更方便的选择。

4个数据点的表格

	k=0	k=1	k=2	k=3
$x_0$	$P_0[x_0]=y_0$	$P_1[x_0,x_1]$	$P_2[x_0,x_1,x_2]$	$P_3[x_0,x_1,x_2,x_3]$
$x_1$	$P_0[x_1]=y_1$	$P_1[x_1,x_2]$	$P_2[x_1,x_2,x_3]$
$x_2$	$P_0[x_2]=y_2$	$P_1[x_2,x_3]$
$x_3$	$P_0[x_3]=y_3$

通项公式

$$P_k[x_i,x_{i+1},\cdots ,x_{i+k}]=\frac{(x-x_{i+k})P_{k-1}[x_i,x_{i+1},\cdots ,x_{i+k-1}]+(x_i-x)P_{k-1}[x_{i+1},\cdots ,x_{i+k}]}{x_i-x_{i+k}}$$

4个数据点的计算公式

	k=0	k=1	k=2	k=3
$x_0$	$P_0[x_0]=y_0$	$P_1[x_0,x_1]=\frac{(x-x_1)P_0[x_0]+(x_0-x)P_0[x_1]}{x_0-x_1}$	$P_2[x_0,x_1,x_2]=\frac{(x-x_2)P_1[x_0,x_1]+(x_0-x)P_1[x_1,x_2]}{x_0-x_2}$	$P_3[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{(x-x_3)P_2[x_0,x_1,x_2]+(x_0-x)P_2[x_1,x_2,x_3]}{x_0-x_3}$
$x_1$	$P_0[x_1]=y_1$	$P_1[x_1,x_2]=\frac{(x-x_2)P_0[x_1]+(x_1-x)P_0[x_2]}{x_1-x_2}$	$P_2[x_1,x_2,x_3]=\frac{(x-x_3)P_1[x_1,x_2]+(x_1-x)P_1[x_2,x_3]}{x_1-x_3}$
$x_2$	$P_0[x_2]=y_2$	$P_1[x_2,x_3]=\frac{(x-x_3)P_0[x_2]+(x_2-x)P_0[x_3]}{x_2-x_3}$
$x_3$	$P_0[x_3]=y_3$

Neville算法Python代码

import numpy as np
def neville(xData,yData,x):
    m = len(xData)
    A = np.zeros((m,m))  # A代表计算表格
    A[:,0]=np.array(np.array(yData))
    for k in range(1,m):
        for i in range(m-k):
            A[i,k]=((x-xData[i+1])*A[i,k-1]+(xData[i]-x)*A[i+1,k-1])/(xData[i]-xData[i+1])
    return A

案例分析

yData = [4.0, 3.9, 3.8, 3.7] 
xData = [-0.06604, -0.02724, 0.01282, 0.05383]
neville(xData,yData,0)

计算结果：