昨天收到某个初中生的题目，首先感谢同寝室的学霸好基友的提醒。

题目描述

如图， $\Delta ABC$ 中，AC>BC，点 D、E 分别在 BC，AC上，且 $\angle 1=\angle 2$ ，AE=BD，求证 $\angle C=2*\angle 1$ 。

思路

利用正弦定理来求解。学霸可以考虑自己借一下。

正弦定理的描述可以参考，https://blog.csdn.net/justidle/article/details/104508449。

解法

首先，我们在图上标注如下。

利用正弦定理，

在 $\Delta AEF$ 中可得， $\frac{AF}{sin\angle 7}=\frac{AE}{sin(2*\angle AFE)}=\frac{AE}{sin(2*\angle 1)}$

在 $\Delta BDF$ 中可得， $\frac{BF}{sin\angle 8}=\frac{BD}{sin(2*\angle BFD)}=\frac{AE}{sin(2*\angle 2)}$

$\because \angle 1=\angle 2\\ \therefore AF=BF\\\because AE=BD, \ AF=BF\\sin\angle 7=sin\angle 8\Rightarrow \angle 7+\angle 8=180^{\circ} OR \angle 7=\angle 8\\ \because AC>BC>BD\\ \therefore \angle 3\neq \angle 4\\ \therefore \angle 7\neq \angle 8\\ \angle 7+ \angle 8=180^{\circ}$

在四边形 CDFE 中，我们可以得到以下等式

$\left\{\begin{matrix}\angle 5+\angle 6+\angle C+\angle EFD=(4-2)*180=360^{\circ} \\ \angle 5=180^{\circ}-\angle 7 \\ \angle 6=180^{\circ}-\angle 8 \\ \angle EFD=\angle AFB=180^{\circ}-\angle 1-\angle 2=180^{\circ}-2*\angle 1 \end{matrix}\right.$

可以推导出： $\angle EFD=\angle AFB=180^{\circ}-\angle 1-\angle 2=180^{\circ}-2*\angle 1$ 。

$\therefore 180^{\circ}-\angle 7+180^{\circ}-\angle 8+\angle C+180^{\circ}-2*\angle 1=360^{\circ}$

$\therefore 360^{\circ}-(\angle 7+\angle 8)+\angle C+180^{\circ}-2*\angle 1=360^{\circ}$

$\therefore 360^{\circ}-180^{\circ}+\angle C+180^{\circ}-2*\angle 1=360^{\circ}$

$\therefore \angle C-2*\angle 1=0$

$\therefore \angle C=2\angle 1$

证明完成。

努力的老周

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