C语言数据结构与算法---拓扑排序、关键路径

一. 有向无环图

有向无环图：无环的有向图，简称 DAG 图

有向无环图常用来描述一个工程或系统的进行过程。（通常把计划、施工、生产、程序流程等当成是一个工程）

一个工程可以分为若干个子工程（活动），只要完成了这些子工程，就可以导致整个工程的完成。

AOV 网： 用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，其中以顶点表示活动，弧表示活动之间的优先制约关系，称这种有向图为顶点表示活动的网，简称 AOV 网--------------拓扑排序

AOE 网： 用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，以弧表示活动，以顶点表示活动的开始或结束事件，程这种有向图为边表示活动的网，简称为 AOE 网--------------关键路径

二. 拓扑排序

1. 分析

AOV 网的特点：

• 若从 i 到 j 有一条有向路径，则 i 是 j 的前驱，j 是 i 的后继
  如：C1是C5的前驱，C5是C1的后继
• 若 <i,j> 是网中有向边，则 i 是 j 的直接前驱；j 是 i 的直接后继
  如：C1是C3的直接前驱，C3是C1的直接后继
• AOV 网中不允许有回路，因为如果有回路存在，则表明某项活动以自己为先决条件，显然不对
  如：C1学完学C2，C2学完学C3，C3学完学C1，完全是荒谬的

2. 拓扑排序的定义及方法

在 AOV 网没有回路的前提下，我们将全部活动排列成一个线性序列，使得若 AOV 网中有弧 <i，j> 存在，则在这个序列中，i 一定排在 j 的前面，具有这种性质的线性排序称为拓扑有序序列，相应的拓扑有序排序的算法称为拓扑排序

实现图例：

• 在有向图中选一个没有前驱的顶点输出（C1）
• 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧
  
• 重复上述两步，直至全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的顶点为止
  选择C2
  
  选择C3
  
  依次选择再C4，C5，C7，C9，C10，C11，C6，C12，C8

该选择的序列就是一个拓扑序列，该序列不唯一

3. 拓扑排序的重要应用

检测 AOV 网中是否存在环：
对有向图构造器顶点的拓扑有序序列，若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该 AOV 网必定不存在环

成环的顶点不存在前驱

4. 拓扑排序的算法实现

在求最小生成树和最短路径是我们使用的是邻接矩阵，但是由于拓扑排序的过程中需要删除结点，用邻接表会更方便

结构：

//在原来的顶点表结点结构中，增加了一个入度域 in 
typedef struct EdgeNode
{
	int weight;
	int adjvex;
	struct EdgeNode* next;
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode
{
	int in;   //顶点入度
	int data;
	EdgeNode* fistedge;
}VertexNod,AdjList[MAXVEX];

typedef struct
{
	AdjList adjList;
	int numv;
	int nume;
}GraphAdjList;

算法实现：

//使用栈储存入度为 0 的点，目的是为了避免每个查找时都要遍历顶点表查找有没有入度为0的点
int TopologicalSort(GraphAdjList *G,int *topo)
{
	EdgeNode* p;  //边表结点
	int i, k, gettop;
	int top = 0;  //栈顶指针
	int count = 0;  //统计输出顶点的个数
	int* stack;  //栈
	stack = (int*)malloc(G->numv * sizeof(int));
	for (i = 0; i < G->numv; i++)
	{
		if (G->adjList[i].in == 0)  //将入度为零的顶点入栈
		{
			stack[++top] = i;
		}
	}

	//只要栈不为空就循环
	while (top != 0)
	{
		gettop = stack[top--];  //出栈
		topo[count] = i;
		count++;

		p = G->adjList[i].fistedge;  //e 指向 Vi 的第一个邻接点 
		while (p != NULL)
		{
			k = p->adjvex;  //Vk 为 Vi 的邻接点
			--G->adjList[k].in;  //Vk 入度-1
			if (G->adjList[k].in == 0) //若减为 0 就入栈
			{
				stack[++top]= k;
			}
			p = p->next;
		}
	}

	if (count < G->numv)
	{
		return false;
	}
	else
	{
		return true;
	}
}

时间复杂度：O(n+e)

三. 关键路径

1.分析

拓扑排序主要是解决一个工程能否顺利进行的问题，但是有时我们还需要解决工程完成需要最短实践问题

例如：若想在某个具体日期完成装修工作，最迟应该多久开始

把工程计划表示为边表示活动的网络，即 AOE 网，用顶点表示事件，弧表示活动，弧的权表示活动持续的时间

事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。

2. 什么是关键路径

源点： 入度为 0 的顶点，表示整个工程的开始
汇点： 初度为 0 的顶点，表示整个工程结束

关键路径：从源点到汇点路径长度最长的路径
路径长度：路径上各活动持续时间之和

完成整项工程至少需要的时间就是关键路径的长度；关键路径上的活动是影响工程进度的关键。

确定关键路径需要定义4个描述量：

1. ve(vj)：表示事件 vj 的最早发生时间
   如上图：ve(v1) = 0 ve(v2) = 30
   源点的最早发生时间为 0
2. vl(vj)：表示事件 vj 的最晚发生时间
   假如整个工程最晚结束时间为180分钟，则 a7 的最晚发生时间为 180 -15 = 165 分钟
3. e(i)：表示活动 ai 的最早开始时间
   如上图：e(a3) = 30
4. l(i)：表示活动 ai 的最迟开始时间
   如上图：l(a3) = 120

l(i) - e(i) ：表示完成活动 ai 的时间余量
如：l(3) - e(3) = 90

关键活动----（关键路径上的活动），时间余量为 0。

如何找 l(i) == e(i) 的关键活动？

设活动 ai 用弧 <j,k> 表示，其持续时间记为：Wj,k
则有：
① e(i) = ve(j)
② l(i) = vl(k) - Wj,k

如何计算 ve(j) 和 vl(k) 呢？

1. 从 ve(1) = 0 开始向前递推
   ve(j) = Max { ve(i) + Wi,j }，< i,j > ∈ T，2 <= j<= n
   其中 T 是所有以 j 为头的弧的集合
   
2. 从 vl(n) = ve(n) 开始往后递推
   vl(i) = Min { vl(j) - Wi,j } , <i,j> ∈ S，1 <= i <= n - 1
   其中 S 是所有以 i 为尾的弧的集合
   
   求关键路径的步骤：
   1. 求 ve(i)、vl(j) ，事件的最早、最晚发生时间
   2. 求 e(i)、l(i) ， 活动的最早、最晚发生时间
   3. 计算 l(i) - e(i)

图示：

1. 求 ve(i)、vl(j) ，事件的最早、最晚发生时间
ve(j) = Max { ve(i) + Wi,j }
vl(i) = Min { vl(j) - Wi,j }

2. 求 e(i)、l(i) ， 活动的最早、最晚发生时间
e(i) = ve(j)
l(i) = vl(k) - Wj,k

3. 计算 l(i) - e(i)

找到了关键活动：

• 若网中有几条关键路径，则需加快同时在几条关键路径上的关键活动。
• 如果一个活动处于所有的关键路径上，那么提高这个活动的速度，就能缩短整个工程的完成时间。
• 处于关键路径上的活动时间不能缩短太多，否则会使原来的关键路径变成不是关键路径。这时必须重新找关键路径。

3. 关键路径的算法实现

步骤：

1. 调用拓扑排序算法，将拓扑序列保存在数组 topo 中

2. 将每个事件的最早发生时间 ve(i) 初始化为0

3. 根据 topo 中的值，按照从前向后的拓扑次序，依次求每个事件的最早发生时间，循环几次，执行以下操作：
   ① 取得拓扑序列中顶点序号 k，k = topo[i]
   ② 用指针 p 依次指向 k 的每个邻接顶点，取得每个邻接顶点的序号 j = p->adjvex，依次更新顶点 j 的最早发生时间

4. 将每个事件的最迟发生时间初始化为汇点的最早发生时间

5. 根据 topo 中的值。按从后向前的顺序，依次求每个事件的最晚发生时间，循环几次，执行以下操作：
   ① 取得拓扑序列中顶点序号 k，k = topo[i]
   ②用指针 p 依次指向 k 的每个邻接顶点，取得每个邻接顶点的序号 j = p->adjvex，依次更新顶点 j 的最晚发生时间

//声明几个全局变量
int* topo;  //存放拓扑序列的数组
int* ve;  //事件最早发生时间
int* vl;  //事件最晚发生时间
int e,l;
void Criticalpath(GraphAdjList* G)
{
	EdgeNode* p;
	int i, j, k;
	if (!TopologicalSort(G,topo)) //调用函数失败，则存在有向环
	{
		return;
	}
	for (i = 0; i < G->numv; i++)
	{
		ve[i] = 0; //初始化最早发生时间为 0
	}
	/*----------------求每个事件最早发生时间-------------*/
	for (i = 0; i < G->numv; i++)
	{
		k = topo[i];  //取得拓扑序列中顶点序号 k
		p = G->adjList[k].fistedge;//p 依次指向 k 的第一个邻接顶点
		while (p != NULL)
		{
			j = p->adjvex;   //邻接顶点的序号
			if (ve[j] < ve[k] + p->weight)
			{
				ve[j] = ve[k] + p->weight;
			}
			p = p->next;  ////p 依次指向 k 的下一个邻接顶点
		}
	}

	for (i = 0; i < G->numv; i++)
	{
		vl[i] = ve[G->numv - 1];
	}
	
	/*----------------求每个事件的最晚发生时间-------------*/
	for (i = G->numv - 1; i >= 0; i++)
	{
		k = topo[i];
		p = G->adjList[k].fistedge;
		while (p != NULL)
		{
			j = p->adjvex;
			if (vl[k] > vl[j] - p->weight)
			{
				vl[k] = vl[j] - p->weight;
			}
			p = p->next;
		}
	}
	/*----------判断每一活动是否为关键活动----------*/
	for (i = 0; i < G->numv; i++)
	{
		p = G->adjList[i].fistedge;
		while (p != NULL)
		{
			j = p->adjvex;
			e = ve[i];  //计算活动<vi,vj>最早开始时间
			l = vl[j] - p->weight;  //计算活动<vi,vj>最晚开始时间
			if (e == l)  //若为关键活动则输出
			{
				printf("<v%d,v%d> length:%d",G->adjList[i].data,G->adjList[j].data,p->weight);
			}
			p = p->next;
		}
	}
}