LaSalle's invariance principle 拉萨尔不变性原理

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1. 系统模型

考虑一个控制系统
$\dot{x}(t)=f(x(t))$
其中 $f(0)=0$。

2. 基本定义

正极限点(positive limit point)：p 被称为 $x(t)$ 的正极限点，如果存在一个时间序列 $\{t_n\}$，有 $n\to\infty$ 时 $t_n\to\infty$，且使得 $x(t_n)\to\infty$ 随着 $n\to\infty$。

正极限集(positive limit set)： $x(t)$ 的所有正极限点的集合即为正极限集。

Remarks：这里举个例子，序列 $x(n)=1,-1,1,-1,...$，那么取奇数项时极限为 1，偶数项时极限为 -1.但是对于完整的序列 $x(n)$ 则极限不存在，而 $x(n)$ 的正极限集则为 $\{1,-1\}$。

为什么这里会引入集合呢？因为控制系统中最终的稳定状态可能不是一个孤立的点，而是在很多个状态之间循环转换，比如一个单位圆。

不变集(invariant set)：集合 $M$ 是关于系统 (1) 的不变集，如果有 $x(0)\in M \Rightarrow x(t)\in M, \forall t\in \mathbb{R}$。如果有 $x(0)\in M \Rightarrow x(t)\in M, \forall t\ge0$ 则称为正不变集(positive invariant set)。

3. 拉萨尔不变性原理

LaSalle’ Theorem：令 $\Omega\in D$ 是一个紧致集，且是关于系统 $\dot{x}(t)=f(x(t))$ 的不变集。令 $V:D\to\mathbb{R}$ 是一个连续函数，且满足 $\dot{V}(x)\le0\ \ in\ \ \Omega$。令 $M$ 为 $\Omega$ 中所有满足 $\dot{V}(x)=0$ 的点的集合，令 $E$ 为 $M$ 中的最大不变集，那么从 $\Omega$ 中出发的所有解都将趋于 $E$ 随着 $t\to\infty$。

Remarks：这里的 $M$ 和 $E$ 有什么不同吗？二者不等价吗？不一定等价！因为 $\Omega$ 本身是一个不变集，而 $M$ 又是他的一个子集，如下图所示，那么任意一个起始于 $M$ 的轨迹都有可能跑出 $M$ 而进入 $\Omega\backslash M$，因此 $M$ 并不是一个不变集。