索引（Index）本质上是一种用空间换时间，提高查找性能的手段。从数据结构的角度看，索引是一种键值（key-value）映射关系表。图书的目录就是一种索引，它的key是章节，value是对应章节所在的页码。
在没有索引情况下，想在一个群体中找出个体，需要逐个遍历，其时间复杂度是O(n)。最优解当然是不做任何遍历直接找到个体，时间复杂度是O(1)。但是索引降低查找时间复杂度是以提高空间复杂度为代价的，无法做到在所有情况下都能实现O(1)索引。因此，索引对查找性能提升后的时间复杂度介于O(1)和O(n)之间。那么在不同的空间限制条件下，索引是如何建立的呢？
内存级别空间索引：Hash、查找树
内存级别空间的数据量是相对比较小的，一般不超过G量级。这个量级下的索引设计选择比较多，Hash用O(n)的空间复杂度换取到O(1)的时间复杂度，查找树通过调整群体的空间结构实现O(logn)的时间复杂度。
Hash在实现时用Hash函数建立key与value之间的映射关系，这个映射关系就是Hash表。Hash表是一种支持随机读取的存储结构（数组）。常用的Hash函数有：直接定址法、数字分析法、平方取中法、折叠法、除留余数法、随机数法。好的Hash函数主要看三个指标：函数的计算速度快、输出值的空间范围小、分布均匀冲突概率低。在实际场景中，会专门设计Hash函数，下图是JDK1.8中HashMap的Hash函数实现。Hash函数对不同key计算的结果可能相同，称为Hash冲突。发生冲突时，有以下几种方式：开放定址法、再散列法、链地址法（拉链法）、建立一个公共溢出区。Java中的HashMap就是采用链地址法解决Hash冲突。
查找Tree通过建立树的空间结构，将查找时间复杂度降为O(logn)，也就是树的高度。树结构可以是逻辑建立（无需内存空间），也可以是物理建立（需要内存空间）。例如对有序群体上进行二分查找就是不需要额外的内存空间来建树。
由于查找树的查找性能取决于树高，因此如何降低树高是关键。主要两个方向：多叉树和平衡树。
多叉树每个节点可以有2个以上子树，它是通过增加树的宽度来降低树的高度。多叉树主要用于文件级别空间索引，不会用于内存级别空间索引。因为多叉树查找时高度和宽度两个方向都要考虑，由于都在内存空间，宽度上的查找可以进一步再优化成二叉查找树。所以对于内存空间的查找使用多叉树没有意义。
平衡树基于短板理论，保证树的各个子树高度相差不超过1。内存空间的查找主要用平衡二叉树，它的主要实现有AVL树、红黑树、伸展树等。其中红黑树在实际应用场景使用较多，C++中STL的map和set基于红黑树实现，Java中的TreeSet和TreeMap也是基于红黑树实现。但其实红黑树的平衡性不如AVL树，它没有严格实现子树高度差不超过1。单看查找效率的话，AVL树优于红黑树。但是平衡性越高，保持平衡性的代价也越大。对于AVL树，由于高度平衡，几乎每次节点的增删都会破坏平衡，导致它的复衡（Rebalance）率非常高。并且为了达到高度平衡，AVL树每次复衡操作也比较复杂（最坏情况时间复杂度O(logn)）。红黑树的复衡操作在增删节点下都是O(1)。所以红黑树是同时考虑读写性能的折中实现。当然如果你的实际应用场景读操作远大于写操作，可以考虑用AVL树。
文件级别空间索引：B树
当数据规模超出内存空间限制后，需要存储到磁盘文件。从内存查找到文件查找，除了数据量级增加外，还有一个非常关键的质变：查找需要跨越磁盘和内存两层存储介质。那么这两层存储介质有什么区别呢？首先当然是速度的不同，以读取1Mb数据为例，内存需要的时间在100ns量级，普通硬盘10ms量级，固态硬盘2ms量级。内存读写速度比磁盘要高4~5个数量级。另外一个关键区别是，内存支持随机读写，磁盘喜欢顺序读写。了解了存储介质读写速度和读写方式的区别，再来看下文件空间的索引该如何设计。
首先考虑下Hash索引，不合适，因为Hash索引的代价是O(n)的空间，此外Hash的内在逻辑是要『打散』，还记得Hash的中文怎么翻译的吗？散列。这与磁盘的读写方式是相违背的，磁盘喜欢连续存储，顺序读取。
再来看查找树。前面提到过，多叉树可以用于文件级别空间索引。一定要多叉吗，二叉不行吗？答案是二叉不行。和多叉相比，二叉是一个纯“离散”的数据结构，而多叉是一个“离散”和“连续”相结合的数据结构。多叉树节点之间是离散的树形结构，节点内部是一个连续的线形结构。这就是为什么内存索引不喜欢多叉，因为内存可以随机读写，多叉“离散”的不彻底，多叉中的“连续”结构可被进一步“离散”，最终优化成二叉。但是多叉中的“连续”性，正好符合磁盘读写性质，所以在文件索引中广泛使用。
B树是多叉平衡树，它同时从宽度和平衡性两个方向减低了树高。在实际场景中，会结合具体需求，对B树做些改造。例如MySQL中的索引采用B树的变种B+树实现，而MongoDB就采用B树实现。B树和B+树的核心区别是，B树所有节点都有data域，而B+树只有叶子节点有data域。MySQL是关系型DB，区间查询（范围查询）的诉求强烈，所有数据存叶结点，上层节点就能存更多索引信息，减少区间查询过程中的磁盘IO。MongoDB是NoSQL型DB，更看重单个个体的查询效率，每层节点存放data域，当索引到该节点时可以立即读到数据，避免继续磁盘IO。它们设计的核心原则是一样的：减少磁盘IO。
总结
索引的本质是用空间换时间，提高查找效率。索引的设计过程需要综合考虑数据的量级、存储介质的特点、写操作的影响以及查找的特点。内存空间的索引可以做到O(1)的查找效率，但是代价是O(n)的空间。相对而言，二叉查找树对时空的综合要求更低。当数据量级超出内存空间后需要存储到磁盘文件。磁盘的IO特性决定B树的数据结构更适合文件空间的索引。
