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一、问题描述
每年lol或者王者荣耀比赛之中，都有官方的竞猜投注的玩法。
1.1 投注及收益规则
甲乙两队比赛，参与竞猜人群进行投注。投注币总量为奖池。
投甲队胜利的投注总量为奖池甲，投注乙队胜利的投注总量为奖池乙。
- 如果甲队获胜，则乙奖池按比例分给甲奖池。
- 如果乙队获胜，则甲奖池按比例分给乙奖池。
- 猜对了，返回本投注，且按比例分得对侧投注。
- 猜错了，丧失投注，按比例分给对侧。
1.2 个人而言收益
假定投入量A到甲奖池：
- 如果甲队获胜，则收益为：
- 如果乙队获胜，则收益为（负的投注量A）
二、数学建模
2.1 变量及概率模型
|
|
甲队获胜 |
乙队获胜 |
| 获胜概率 |
α |
1-α |
| 人群投注比例 |
β |
1-β |
假定甲队获胜的概率是α，则乙队获胜的概率是1-α
投注比例
2.2 个人收益量推导
假定对甲队投注量A，且甲队获胜，则乙队的奖池按比例分给甲，收益就是表中的量
如果乙队获胜，则投注甲队的投注失败，投入均损失，收益为-A
2.3 投注收益的数学期望
数学期望=求和（概率×收益）
投注A到甲队的期望收益：
对甲队投注A的收益期望=甲队获胜概率*甲队获胜收益+乙队获胜概率*乙队获胜收益
投注B到乙队的期望收益：
对乙队投注B的收益期望=乙队获胜概率*乙队获胜收益+甲队获胜概率*甲队获胜收益
投注A到甲队且投注B到乙队总期望收益：
三、策略及期望收益
3.1 总期望收益
前文得到
投注A到甲队且投注B到乙队总期望收益：
队伍获胜概率α，以及人群对队伍的投注量β都为固定量。因此策略需要定下来A与B的值。
最大化收益的问题，转化为：
3.2 理性投注人群
即队伍获胜的概率与人群投注量的比例相同：α=β
此时无论如何投注，收益期望均为0
3.3 非理性投注人群
因为人群无法预估出队伍获胜概率α，因此α一般情况下，不等于β
如果人群对甲队期望过高，即(α-β)为负：
则希望
<0且尽量小。需要
且A尽量大，B尽量小。
即人群对甲队期望过高，则尽量在甲队少投，乙队多投。
反之如果人群对甲队期望过低，即(α-β)为正：
则期望下值
>0且尽量大。需要
且A尽量大，B尽量小。
即人群对甲队期望过低，则尽量在甲队多投，乙队少投。
3.4 等额投注收益
等额投注即A=B的情况，
收益为：
如果人群对甲队期望过高，即(α-β)为负：
想要盈利需要
，即1-β>β
即盈利需要：人群对甲队获胜的期望低于甲队获胜的概率，且投注甲队人数少于1/2
投弱队的人更少。
如果人群对甲队期望过低，即(α-β)为正：
想要盈利需要
，即1-β<β
即盈利需要：人群对甲队获胜的期望低于甲队获胜的概率，且投注甲队人数多于1/2
投强队的人更多。
