第七章 树 7.1 无向树及生成树

7.1 无向树及生成树

先来看一些基本概念：

简单来说就是由多颗数组成的。

来看一些定理：

如果我们让树中的每一条与其下方的结点对应，那么最后多出来一个根节点。故在树中，边数等于结点数减去1。

定理2：

例题：

解析：
由上可知，树中结点数减去1就是边数，边数乘以2就是总度数。根据这个可以列方程求解。

生成树：删回路，直到出现树
弦：把生成树抠掉剩下的边角料
余树：边角料的集合

注意：

• 余树可以不连通，且可能含有回路。
• 生成树一般不是唯一的，只有当图是一棵树时，其生成树才是唯一的。（也就是说：生成树的唯一性不确定）

我们来看最小生成树：

来看一个算法：

例题：

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弦的基本回路：
对于每一条弦 $e$，存在唯一的由弦 $e$和生成树的树枝构成的初级回路 $C_e$，称 $C_e$为对应于弦 $e$的基本回路。所以基本回路的集合称为生成树 $T$的基本回路系统。

eg：

$C_a$ = aed
$C_b$ = bdf
$C_c$ = cef

基本回路系统为：
{ $C_a$， $C_b$， $C_c$}

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树枝的基本割集：
对于生成树的每一个树枝 $a$，存在唯一的由树枝 $a$其余边都是弦的割集 $S_a$，称 $S_a$为对应树枝 $a$的基本割集，称所有基本割集的集合为对应生成树 $T$的基本割集系统。

eg：

$S_a$ = {a,g,f}
$S_b$ = {b,g,h}
$S_c$ = {c,f,h}
$S_d$ = {d,h,i}
$S_e$ = {e,f,i}

基本割集系统为{ $S_a$， $S_b$， $S_c$， $S_d$， $S_e$}

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合并：操作方法就是将 $C_i$和 $C_j$中相同的删除再合并起来。

eg;

易得：
$C_f$ = face
$C_g$ = gba
$C_h$ = hdcb
$C_i$ = ied

$C_f$ $\bigoplus$ $C_g$ = fgbce
$C_f$ $\bigoplus$ $C_h$ = fabhde

$\cdots$

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练习1：
设图G是有6个顶点的连通图,总度数为20,则从G中删去()条边后使之变成树?

练习2：
设G是一棵树，则G的生成树有()棵?

答案：1

练习3：
设G是一棵无向树，则G一定是()?


解析：
让树的每一层的点交替属于 $v_1$, $v_2$即可。

练习4：