关键路径JS实现

我勒个去，毕业论文终于提交了，赶紧完成图基本算法的最后一节。。。

1 定义

在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，称为AOE网。AOE网中没有入边的顶点称为始点或源点，没有出边的顶点称为终点或汇点。由于一个工程通常总有一个开始和一个结束，因此AOE网只有一个源点和汇点。

与AOV网区别在于，AOV网是顶点表示活动的网，它只描述活动之间的制约关系，而AOE网是用边表示活动的网，边上的权值表示活动持续的时间。其是建立在活动之间制约关系没有矛盾的基础之上，再来分析整个工程需要多少时间。

我们把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。只有找出AOE网中的关键路径，并缩短路径上关键活动的工作时间，才能最有效的缩短完成工程的时间。

2 建立测试网

按照拓扑排序的邻接表结构，建立测试网：

class vex{
	constructor(value){
		this.data = value;
		this.firstEdge = null;
		this.in = 0;   //用于存放顶点的入度
	}

}

class adjvex{
	constructor(node,weight){
		this.node = node;
		this.weight = weight;
		this.next = null;
	}
}

class Graph{
	constructor(v,vr){
		let len = v.length;
		let vexs = new Array(len);
		let v1=0,v2=0;
		let newvex = null;
		for (let i=0;i<len;i++){
			vexs[i] = new vex(v[i]);
		}
		for (let arc of vr){
			v1 = v.indexOf(arc[0]);
			v2 = v.indexOf(arc[1]);

			newvex = new adjvex(v2,arc[2]);
			newvex.next = vexs[v1].firstEdge;   //头插法
			vexs[v1].firstEdge = newvex;
			vexs[v2].in++;
		}
		this.adjList = vexs;
	}
}

let a = new Graph(['v0','v1','v2','v3','v4','v5','v6','v7','v8','v9','v10','v11','v12','v13'],[['v0','v11',1],['v0','v4',1],['v0','v5',1],['v1','v4',1],['v1','v8',1],['v1','v2',1],['v2','v5',1],['v2','v6',1],['v3','v2',1],['v3','v13',1],['v4','v7',1],['v5','v8',1],['v5','v12',1],['v6','v5',1],['v8','v7',1],['v9','v11',1],['v9','v10',1],['v10','v13',1],['v12','v9',1]]);
console.log(a);

3 算法思路

在AOE网中找到关键路径在于如何找到关键活动。对此我们定义几个参数：

• 事件的最早发生时间etv：即顶点代表的事件最早发生的时间
• 事件的最晚发生时间ltv：即顶点代表的事件最晚发生的时间
• 活动最早的开工时间ete：即弧代表的活动最早发生时间
• 活动最晚的开工时间lte：即弧代表的活动最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。

例如下图，有4个事件： v₀，v₁，v₂和v₃，以及4个活动：a₀，a₁，a₂和a₄。事件v₃必须等到活动a₂和a₄完成以后才能触发，因此在不推迟工期的条件下，事件v₃的最早发生时间和最晚发生时间都是12，且v₂的最早和最晚发生时间也都是4，但是对于事件v₁，其只要保证在时间7之前发生即可，因此其最早发生时间是3，而最晚发生时间是7。综上所述，要减少整个工程的时间，对于缩减活动a₀和a₂的时间并没有什么作用，关键要缩减经过事件顶点v₂的活动a₁和a₄的时间。因此经过顶点v₂的路径才是关键路径。由此我们可以看出，一个活动是否为关键活动在于活动最早的开工时间ete是否等于活动最晚的开工时间lte，若等于，该活动则为关键活动，否则则不是。

在关键路径算法，我们先求得顶点事件的最早和最晚发生时间，再求得弧活动的最早和最晚开工时间，最后比较弧活动的两者时间是否相等，判断是否为关键活动。

4 代码

整个求解关键路径过程可划分为三部分：

• 求解各顶点事件的最早发生时间
• 求解各顶点事件的最晚发生时间
• 求解各弧上活动的最早和最晚发生时间，并做关键活动的判断

首先求得各顶点事件的最早发生时间，可以看到代码与拓扑排序很相似。求各顶点的最早发生时间判定条件如下

例如下图，etv[1] + a2 ＜ etv[2] + a4，所以etv[3] = 12。

function getEtvs(G){
	let etvs = [];   //用于存储各顶点的最早发生时间
	let stack = [], T = [];   //stack为辅助栈，T为存储拓扑序列的数组
	let count = 0;    //用于统计顶点个数

	for (let i=0;i<G.adjList.length;i++){   //初始化数组，并将入度为0的顶点推入栈
		etvs[i] = 0;
		if (G.adjList[i].in === 0){
			stack.push(i);
		}
	}

	let currentAdjVex = null;
	let currentIndex = 0;
	while(stack.length > 0){
		currentIndex = stack.pop();    //弹出栈顶入度为0的顶点
		count++;
		T.push(currentIndex);
		currentAdjVex = G.adjList[currentIndex].firstEdge;
		while(currentAdjVex){        //遍历当前顶点的所有邻接顶点
			if (etvs[currentIndex] + currentAdjVex.weight > etvs[currentAdjVex.node]){   //关键代码，求各顶点事件最早发生时间
				etvs[currentAdjVex.node] = etvs[currentIndex] + currentAdjVex.weight;
			}

			if (--G.adjList[currentAdjVex.node].in === 0){   //将当前邻接顶点入度减1，若等于0，则推入栈中
				stack.push(currentAdjVex.node);
			}

			currentAdjVex = currentAdjVex.next;
		}
	}

	if (count < G.adjList.length){
		return false;
	}else{
		return [etvs,T];
	}
}

接着根据各顶点事件的最早发生时间，反向求各顶点的最晚发生时间，相当于把拓扑排序倒过来，判定条件如下

例如下图，顶点v6的最晚发生时间为25，而顶点v7为19，ltv[6] - 9 > ltv[7] -4，为了保证工程不延期，因此顶点v4最晚发生时间ltv[4] = 15

function getLtvs(G,etvs,T){
	let ltvs = [];

	for (let i=0;i<G.adjList.length;i++){   //初始化每个顶点的最晚发生时间
		ltvs[i] = etvs[G.adjList.length-1];
	}

	let currentAdjVex = null;
	let currentIndex = 0;
	while(T.length > 0){
		currentIndex = T.pop();   //反向拓扑序列计算
		currentAdjVex = G.adjList[currentIndex].firstEdge;
		while(currentAdjVex){
			if (ltvs[currentIndex] > ltvs[currentAdjVex.node] - currentAdjVex.weight){  //关键代码，求各顶点事件的最晚发生时间
				ltvs[currentIndex] = ltvs[currentAdjVex.node] - currentAdjVex.weight;
			}

			currentAdjVex = currentAdjVex.next;
		}
	}

	return ltvs;
}

最后即可根据各顶点事件的最早和最晚发生时间，计算弧上活动的最早和最晚时间，并作比较判断是否为关键活动。注意的是，弧上活动<vi,vj>的最早开工时间不可能早于顶点vi事件最早发生时间，而最晚开工时间则不可能晚于顶点vj事件最晚发生时间 - 弧上活动持续时间。因此代码如下：

function criticalPath(G){
	let etvs = null, ltvs = null;
	let T = null;

	[etvs,T] = getEtvs(G);  //调用函数获取图各顶点事件的最早和最晚发生时间
	ltvs = getLtvs(G, etvs, T);

	let ete = 0, lte = 0;
	let currentAdjVex = null;
	for (let i=0;i<G.adjList.length;i++){   //遍历每一条边
		currentAdjVex = G.adjList[i].firstEdge;
		while(currentAdjVex){
			ete = etvs[i];     //弧上活动的最早开工时间
			lte = ltvs[currentAdjVex.node] - currentAdjVex.weight;   //弧上活动的最晚开工时间
			if (ete === lte){
				console.log('v'+i,'v'+currentAdjVex.node,currentAdjVex.weight);
			}
			currentAdjVex = currentAdjVex.next;
		}
	}
}