光流法的四种方法（正/反，Additive/Compositional）

转自：https://blog.csdn.net/wendox/article/details/52505971

光流法的目标是完成图像点的跟踪, 因此这里假设存在一个输入图像I, 以及要跟踪的点x, 存在另外一个图像块T, 我们的目标是完成图像块T到输入图像I的匹配.

文章针对Lucas-Canade光流法做了一个总结, 
文章对lucas-canade (Forward Additive, FA)算法做了简介, 引入了Compositional算法以及Inverse方法. 因此对应组合形成4种方法分别是Forward Additive(FA), Forward Compositional(FC)以及新提出的Inverse Compositional(IC)算法, Inverse Additive(IA)算法. 对这4种方法文章分别从算法的目标, 算法的推导, 算法对wrap矩阵的要求, 算法计算复杂度以及算法与其他方法的等效情况.

除了四种方法的原理, 文章还介绍了几种优化方法如何实现上述光流的计算. 从高斯牛顿开始介绍, 文章介绍了牛顿法的原理以及对牛顿法的改进. 高斯牛顿法是对牛顿法的一种近似. 当牛顿法中的Hessian矩阵使用雅克比近似时, 牛顿法变为高斯牛顿. 当Hessian矩阵使用c*I(对角为c, 其他元素为0)的矩阵, 牛顿法变为梯度下降法.

Lucas-Kanade 光流法简介

增量方式\更新方式	forward	inverse
additive	FAIA	IAIA
compositional	FCIA	ICIA

前向与后向的对比

前向方法对于输入图像进行参数化(包括仿射变换及放射增量). 后向方法则同时参数输入图像和模板图像, 其中输入图像参数化仿射变换, 模板图像参数参数化仿射增量. 因此后向方法的计算量显著降低. 由于图像灰度值和运动参数非线性, 整个优化过程为非线性的.

参数化过程主要要计算: 图像的梯度, 位置对运动参数导数, 运动参数增量. 前向方法中Hessian是运动参数的函数. 提高效率的主要思想是交换模板图像和输入图像的角色. 
后向方法在迭代中Hessian是固定的.

前向方法和后向方法在目标函数上不太一样，一个是把运动向量pp都是跟着I（被匹配图像），但是前向方法中的迭代的微小量ΔpΔp使用I计算的，后巷方法中的ΔpΔp使用T计算的。因此计算雅克比矩阵的时候，一个的微分在ΔpΔp处，而另外一个在0处。所以如果使用雅克比矩阵计算Hessian矩阵，后者计算的结果是固定的。 
举例: 
FAIA的目标函数（前向方法） 

∑x[I(W(x;p+Δp))−T(x)]2∑x[I(W(x;p+Δp))−T(x)]2

ICIA的目标函数(后向方法) 

∑x[T(x;Δp)−I(W(x;p))]2∑x[T(x;Δp)−I(W(x;p))]2

如果使用一阶泰勒展开FAIA(前向方法)的目标函数变为 

∑x[I(W(x;p))+∇I∂W∂pΔp−T(x)]2∑x[I(W(x;p))+∇I∂W∂pΔp−T(x)]2

ICIA(后向方法)的泰勒展开为 

扫描二维码关注公众号，回复： 927520 查看本文章

∑x[T(W(x;0))−I(W(x;p))+∇T∂W∂pΔp]2∑x[T(W(x;0))−I(W(x;p))+∇T∂W∂pΔp]2

而雅克比矩阵为 

∂W∂p=[x,0,y,0,1,00,x,0,y,0,1]∂W∂p=[x,0,y,0,1,00,x,0,y,0,1]

只和xy有关，图像I的梯度是要在 W(x;p)W(x;p) 处计算的，后向方法中图像T的梯度在 W(x;0)W(x;0) 处计算，因此Hessian矩阵不依赖与处计算，因此Hessian矩阵不依赖与 pp 。 后向方法中对模板图像参数化, Hessian矩阵只需要计算一次. 因为模板是在迭代过程中(优化 pp )的每一步固定的。因此会减小计算量。而对输入图像参数化, 由于输入图像的位置是运动的函数, 因此运动参数变化后, 梯度需要重新求解.

Compositional 与 Additive对比

通过增量的表示方式来区分方法. 迭代更新运动参数的时候，如果迭代的结果是在原始的值(6个运动参数)上增加一个微小量，那么称之为Additive，如果在仿射矩阵上乘以一个矩阵(增量运动参数形成的增量仿射矩阵)，这方法称之为Compositional。两者理论上是等效的，而且计算量也差不多。

算法的目标

FAIA:

∑x[I(W(x;p+Δp))−T(x)]2∑x[I(W(x;p+Δp))−T(x)]2

FCIA:

∑x[I(W(W(x;Δp);p))−T(x)]2∑x[I(W(W(x;Δp);p))−T(x)]2

ICIA以及,IAIA:

∑x[T(W(x;Δp))−I(W(x;p))]2∑x[T(W(x;Δp))−I(W(x;p))]2

对于warp的要求

FAIA: W(x,p)W(x,p)对于pp可微. 
FCIA: warp集合包含identitywarp, warp集合包含在Composition操作上是闭的(semi-group), 其中包括Homograph, 3D rotation等. 
ICIA: semi-group, 另外要求增量warp可逆, 其中包括Homograph, 3D rotation等, 但不包括piece wise affine. 
IAIA: 适用于2D平移, 2D相似, 2D仿射等.

算法简介

FAIA

目标函数为 

∑x[I(W(x;p+Δp))−T(x)]2∑x[I(W(x;p+Δp))−T(x)]2

更新的方式为 

p←p+Δpp←p+Δp

步进的计算方法为 

Δp=H−1∑x[I(W)(x;p)−T(x)]Δp=H−1∑x[I(W)(x;p)−T(x)]

算法每个步骤中的时间复杂度 
 
伪代码 

FCIA

目标函数为 

∑x[I(W(W(x;Δp);p))−T(x)]2∑x[I(W(W(x;Δp);p))−T(x)]2

更新方式为 

W(x;p)←W(x;p)∘W(x;Δp)W(x;p)←W(x;p)∘W(x;Δp)

步进的计算 

Δp=H−1∑x[I(W)(x;p)−T(x)]Δp=H−1∑x[I(W)(x;p)−T(x)]

ICIA

为了避免花费很多时间来计算hessian矩阵,如果该矩阵是恒定的,那么只需要计算一次.然后事实上Hessian矩阵是关于pp的函数,很多研究给出了该矩阵的近似计算方法,然而很难估计近似的效果,有的时候近似不是很完善.提出该方法的出发点是交换图像和模板, 
文章给出了前向和反向的方法是等效的,并给出了证明. 
 
对比IAIA发现ICIA的迭代中不需要对图像梯度进行wrap, 另外计算Hessian中同样如此.

IAIA

仍然是交换I和T. 这样可以避免每个迭代中计算梯度图像. 

∑x[I(W(x)+∇T(∂W∂x)−1∂W∂pp−T(x)]2∑x[I(W(x)+∇T(∂W∂x)−1∂W∂pp−T(x)]2

update 

p←p+Δpp←p+Δp

实际上这种方法能够使用的运动很少, 对于warp的要求很高, 因此不常用. 文中之后给出了the Inverse Additive 和 Compositional Algorithms 方法在 Affine Warps中的等效性.

总结

• 两个前向方法的计算复杂度相似,后向方法几乎相等.后向方法的速度远比前向方法要快.
• 前向additive可以用于任何变形(warp),
• 反向compositional只能用于warps that form groups.
• 反向additive 可以用于simple 2D linear warps such as translations and affine warps. 
  如果不进考虑效率的话可以使用两种前向方法.前向compositional的方法中Jacobian是常量,因此有一定的优势.

如果效率很重要的话,那么后向compositional方法是首选,推导很简单,很容易确定.

雅克比矩阵和残差计算的方式有关, 由于 compositional 计算误差的方式会使得雅克比矩阵为常数,通常采用compositional的形式

梯度下降方法的近似

文章介绍了4种方法分别是高斯牛顿, LM, 梯度下降和Hessian矩阵对角近似. 对这些方法文章分别进行了分step性能, iteration性能等的测试.

牛顿法中通过对Hessian使用雅克比矩阵近似可以得到高斯牛顿.

Algorithm	order of the Taylor approximations	Hessian	work better at
The Gauss-Newton Algorithm	first order		approximations to the Hessian
The Newton Algorithm	sendond order
Steepest Descent	-	indentity matrix	furhter away from lcoal local minima
The Levenberg-Marquardt Algorithm	combine diagonal and full Hessian	error gets worse

结论

1. Gauss-Newton 和 Levenberg-Marquardt的收敛性能类似, 但跟另外2种方法稍好.
2. Levenberg-Marquardt实现的效率和Gauss-Newton接近, 并且不好好于高斯牛顿.

算法的选择

• 噪声，如果图像的噪声比较大，那么最好使用反向算法，反之使用前向方法．
• 关于效率的已经讨论过了．

refer

1. project mainpage https://www.ri.cmu.edu/research_project_detail.html?project_id=515&menu_id=261 
   2.https://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15385-s12/www/lec_slides/Baker&Matthews.pdf