已知 $f(x)=\dfrac13x^3-|2ax+4|$ 在 $[1,2]$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为_______.
【解答】 必要性. $x^2-|2a|\ge0$ 对 $x\in[1,2]$ 恒成立，所以 $|a|\le2$.
当 $0\le a\le2$ 时，$f(x)=\dfrac13x^3-2ax-4$，
所以 $f'(x)=x^2-2a\ge0$ 对 $x\in[1,2]$ 恒成立，
所以 $a\le \dfrac12$.
当 $-2\le a<-1$ 时，$|2ax+4|$ 在 $\left[1,-\dfrac2a\right]$ 减，在 $\left[-\dfrac2a,2\right]$ 增，
所以只要 $f(x)=\dfrac13x^3+2ax+4$ 在$\left[-\dfrac2a,2\right]$ 增，
即 $x^2+2a\ge0$ 对$x\in\left[-\dfrac2a,2\right]$恒成立，
所以 $-\sqrt[3]2\le a<-1$.
当 $-1\le a<0$ 时，$|2ax+4|$ 在 $[1,2] $ 减，所以 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 增.
综上，$-\sqrt[3]2\le a\le\dfrac12$.
扫描二维码关注公众号，回复：
922005 查看本文章
