Rabin密码体制

最近在做Jarvis OJ 上的hard RSA，谈到Rabin密码，就顺便研究了一番。

存在b使得 b²≡a mod p
根据费马小定理可知：b^p-1≡1 mod p
可得：
$a^{\dfrac {p-1}{2}}\equiv \left( b^{2}\right) ^{\dfrac {p-1}{2}}\equiv b^{p-1}\equiv 1 modp$
第二步：当a∈NR
同样使用费马小定理，知：a^p-1≡1 mod p
分解后可得：a^p-1-1=kp
即：
在这里插入图片描述
因为a∈NR，因此p一定不会整除于a^(p-1)/2-1,所以
$p | (a^{\frac{p-1}{2}}+1)$
化简得:
$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 mod p$
Q.E.D.

4.Rabin的加密与解密

与RSA类似但这个函数不是单射，一个密文能解出4个明文。

取两个大素数p与q，使得p≡q≡3(mod 4)(保证为奇素数)
加密：c=m²(mod n)
解密：步骤相当复杂,以下为推理过程:
(偷懒可直接看最后的代码)
m²≡c mod n
相当于求解m²≡c mod p，m²≡c mod p
对于m²≡c mod p来说，c是模p 的二次剩余，
即
$c^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 mod p$
代入得:
$m^{2}\equiv c (modp)\equiv c^{\frac{p-1}{2}}*c(modp)\equiv c^{\frac{p+1}{2}} mod p$
开方得：
$m1\equiv c^{\frac{p+1}{4}} mod p$ （1）
$m2\equiv (p-c^{\frac{p+1}{4}}) mod p$ （2）
此时m1,m2异号

对于m²≡c mod p同理可得：
$m3\equiv c^{\frac{p+1}{4}} mod q$ （3）
$m4\equiv (q-c^{\frac{p+1}{4}}) mod q$ （4）
然后用四次中国剩余定理：
（1）与（3）
（1）与（4）
（2）与（3）
（2）与（4）
分别得到m1,m2,m3,m4
明文为四个里的其中一个。

下面是Jarvis OJ里hard RSA的python解密代码:

import gmpy2
n =0xc2636ae5c3d8e43ffb97ab09028f1aac6c0bf6cd3d70ebca281bffe97fbe30dd
p=319576316814478949870590164193048041239
q=275127860351348928173285174381581152299
d =0x1806799bd44ce649122b78b43060c786f8b77fb1593e0842da063ba0d8728bf1
e =2
c = int(open('flag.enc','rb').read().encode('hex'),16)

c1=pow(c,(p+1)/4,p)
c2=pow(c,(q+1)/4,q)
cp1=p-c1
cp2=q-c2
t1=gmpy2.invert(p,q)#p的模q逆元
t2=gmpy2.invert(q,p)#q的模p逆元

m1=(q*c1*t2+p*c2*t1)%n
m2=(q*c1*t2+p*cp2*t1)%n # or m2=n-m1
m3=(q*cp1*t2+p*c2*t1)%n
m4=(q*cp1*t2+p*cp2*t1)%n # or m4=n-m3

for i in(m1,m2,m3,m4):
    m = '%x' % i
    if len(m)%2==1:
        m='0'+m #padding
    print(m.decode('hex'))

丶坚持不懈

发布了8 篇原创文章 · 获赞 13 · 访问量 2620

私信关注

RSA攻击之Rabin密码体制

Rabin密码体制

目录

1.简介

2.二次剩余定理

简要定义：p是素数，a不是p的倍数且与一个平方数模p同余，则称a是模p的二次剩余，记作a∈QR。

3.欧拉准则

4.Rabin的加密与解密

猜你喜欢