洛谷P1722 矩阵Ⅱ （卡塔兰数）

题面

给定一个1*(2n)的矩阵。现让你放入一样多的红色算筹和黑色算筹，使对于所有的i(1<=i<=2n)，使第1~i格中红色算筹个数大于等于黑色算筹

(同P1044栈)

思路

记红为R，黑为B，输入n时的结果为C_n
画几个之后，发现这个问题具有子结构。

如n-1的情况可以通过在后面补一个RB构成n的情况。
但若要推导递推公式，需要更确定的子结构划分。
注意，不能通过删去n情况的末尾两个形成n-1的情况，因为不知道n-1内是不是恰好有n-1个R和B
如情况RRRRR...BBBBB（n个红，n个黑），结果是C_n，但删去末尾两个后得不到C_n-1

注意到最末的格子必为黑色，而且它前面未必是红，所以在划分的时候不应包含它。（完整的RB+完整的RB=完整的RB，完整的RB才可应用C_i递推）
现在序列中多余了一个红色的元素，也不应包含（和末尾B配对的R）。这样，剩下的部分就是完整部分。

配对RB列的种类数是C_i ，其中i是列长度

这种R有n-1个可能存在的位置，即1 ~ n-1，不同的情况符合加法原理

前面的RB列长0时，后面RB列长n-1（实际长度为2倍，这里说的是输入为相应规模的子问题）
以此类推
所以
$ans=C_0C_{n-1}+C_1C_{n-2}+...+C_{n-2}C_1+C_{n-1}C_0$
这就是卡塔兰数定义
从小到大打表即可
这个过程和括号配对种数问题，栈出列种数问题是等价的，在寻找和末尾B配对的R时就应当发现了。

代码

#include <stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int C[105];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	C[0] = 1;C[1] = 1;C[2] = 2;
	for (int i = 3; i <=100 ; i++)//打表
	{
		for (int j = 0, k = i - 1;j <= i - 1;j++, k--) {
			C[i] += C[j] * C[k] % 100;
		}
		C[i] %= 100;//分步取模
	}
	int n;
	cin >> n;
	cout << C[n];
	return 0;
}