机器学习：用梯度下降法实现线性回归

之前在机器学习算法数学基础之 —— 线性代数篇中，总结过求解线性回归的两种方法：

最小二乘法
梯度下降法

这篇文章重点总结一下梯度下降法中的一些细节和需要注意的地方。

梯度下降法是什么

假设有一个估计函数： $h_{0}(x)=\theta^{T}X$ ，
其代价函数（cost function）为： $J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)})^{2}}$

这个代价函数是 x(i) 的估计值与真实值 y(i) 的差的平方和，前面乘上 1/2，是因为在求导的时候，这个系数就不见了。

梯度下降法的流程：

1）首先对 θ 赋值，这个值可以是随机的，也可以让 θ 是一个全零的向量。
2）改变 θ 的值，使得 J(θ) 的值按梯度下降的方向减小。

参数 θ 与误差函数 J(θ) 的关系图

红色部分表示 J(θ) 有着比较高的取值，我们希望能够让 J(θ) 的值尽可能的低，也就是取到深蓝色的部分。θ0、θ1 表示 θ 向量的两个维度。上面提到梯度下降法的第一步，是给 θ 一个初值，假设随机的初值位于图上红色部分的十字点。然后我们将 θ 按梯度下降的方向进行调整，就会使 J(θ) 往更低的方向进行变化，如图所示，算法的结束将在 θ 下降到无法继续下降为止。

θ 的更新： $\theta_{i}=\theta_{i}-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta}J(\theta)$

θi 表示更新前的值，减号后边的部分表示按梯度方向减少的量，α 表示步长，也就是每次按梯度减少的方向变化多少。

梯度是有方向的，对于一个向量 θ，每一维分量 θi 都可以求出一个梯度的方向，我们就可以找到一个整体的方向，在变化的时候，我们就朝着下降最多的方向进行变化，就可以达到一个最小点，不管它是局部的还是全局的。

所以梯度下降法的原理简单来说就是：

在变量空间的某个点，函数沿梯度方向的变化率最大，所以在优化目标函数的时候，沿着负梯度方向减小函数值，可以最快达到优化目标。

特征缩放（Feature Scaling）

在 Stanford 的 Machine Learning 课程中，老师提到了使用梯度下降法时可能用到的特征缩放法，为的是当所要研究的数据集中出现数据值范围相差较大的 feature 时，保证所有 feature 有相近范围内的值。

以课程中的房价问题为例，数据集的 feature 中有房屋尺寸 $x_{1}$ 和房间数量 $x_{2}$ 两项，房屋尺寸的范围是 0~2000 feet^2，房间数量的范围是 1~5。此时以两个参数 $\theta_{1}$ 和 $\theta_{2}$ 为横纵坐标，绘制代价函数 $J(\theta)$ 的等高线图如下：

代价函数的等高线图

解决方法是对两个 feature 进行归一化处理：

x1 = size / 2000
x2 = number of rooms / 5

进行特征缩放后，代价函数的等高线图就变成了这样：

特征缩放后的代价函数等高线图

很明显，归一化处理前，代价函数的等高线图高又窄，在梯度下降过程中，需要反复迭代很多次，才能达到理想的位置，会花费较长的时间。归一化处理后，两个 feature 的数值大小处于相近的范围内，因此横纵坐标 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 两个参数的变化范围也变得相近，对 $y$ 的影响不再有 feature 值在范围大小伤的影响，从而反映代价函数上。在等高线图上，梯度下降过程中变化受 x1 大小影响的 $\theta_{1}$ 的变化减小了，变得和 x2 的变化趋势一致，从而等高线图近似圆形。

至于把 feature 缩小到什么范围，没有特别的要求，只要各个 feature 的数值范围相近就可以了，只是为了计算速度可以有所提升。

顺便引用一下 Andrew Ng 老师在课程中用到的例题：

步长 α（学习率）的选择

在参数 $\theta$ 的更新式： $\theta_{i}=\theta_{i}-\alpha\frac{\partial}{\partial\theta}J(\theta)$ 中， $\alpha$ 称为步长，决定了参数每次被增加或减小的大小，步长如何选择是决定梯度下降法表现的一个因素。如果步长过大，可能会直接越过最佳点，导致无法收敛，甚至发散；如果步长过小，可能导致迭代次数过多，降低效率。

步长的选择过大时，导致越过最佳点

关于步长的选择，有很多种方法，如果初始步长不合适，在后边要不断进行调整，调整的方法有很多种，关于这个问题国内外也有很多论文对其研究过。一旦找到了合适的步长，大多数情况下就不需要再改变了，有人会觉得随着 $J(\theta)$ 越来越小，如果步长不变，更新式中第二项的值也会越来越小，迭代的进度会慢下来。但是，随着越来越接近最佳点，梯度也会越来越大，也就是 $J(\theta)$ 的微分值也会越来越大，所以迭代的速度并不会变慢。

最常用的选择步长的方法是按3倍调整，即：0.001、0.003、0.01、0.03、0.1、0.3、1 …… 按这个倍率进行测试，寻找能使 $J(\theta)$ 下降速度最快的步长范围，确定范围后再对其进行微调。

用 Python 实现梯度下降法

import numpy as np
import random

def gradient_descent(alpha, x, y, ep=0.0001, max_iter=10000):
    converged = False
    iter = 0
    m = x.shape[0] # 数据的行数

    # 初始化参数(theta)
    t0 = np.random.random(x.shape[1])
    t1 = np.random.random(x.shape[1])

    # 代价函数, J(theta)
    J = sum([(t0 + t1*x[i] - y[i])**2 for i in range(m)])

    # 进行迭代
    while not converged:
        # 计算训练集中每一行数据的梯度 (d/d_theta j(theta))
        grad0 = 1.0/m * sum([(t0 + t1*x[i] - y[i]) for i in range(m)]) 
        grad1 = 1.0/m * sum([(t0 + t1*x[i] - y[i])*x[i] for i in range(m)])

        # 更新参数 theta
        # 此处注意，参数要同时进行更新，所以要建立临时变量来传值
        temp0 = t0 - alpha * grad0
        temp1 = t1 - alpha * grad1
        t0 = temp0
        t1 = temp1

        # 均方误差 (MSE)
        e = sum( [ (t0 + t1*x[i] - y[i])**2 for i in range(m)] ) 

        if abs(J-e) <= ep:
            print 'Converged, iterations: ', iter, '!!!'
            converged = True
    
        J = e   # 更新误差值
        iter += 1  # 更新迭代次数
    
        if iter == max_iter:
            print 'Max interactions exceeded!'
            converged = True

    return t0,t1

参考：3 Types of Gradient Descent Algorithms for Small & Large Data Sets

王大鱼

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