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# 关于蒙特卡洛模拟求解二维Ising模型的笔记
—— markdown笔记学习
## 基本原理
假设有 $L \times L = N$大小的Ising模型
1. 周期性边界条件：
$$A(i,j) =A(i+m_{i}L,j+m_{j}L)$$
（其中，$m_i,m_j,=0,\pm 1,\pm 2...$）
2. 哈密顿量
$$H=J\sum_{
} s_is_j +h\sum_{i} s_i$$
其中，$
$表示只对相邻格点求和
3. 配分函数
$$Z_N=\sum_{\{s_i\}}e^{-E/kT}$$
4. 蒙特卡洛模拟
4.1. Metropolis算法
* 确定初始态$\{ s_m^{(i)}\}$
* 选择格点i，施加扰动得到$\{s_m^{*i}\}$
* 计算$\Delta H$，判断正负：
若正： 接受扰动，$\{s_m^{(i+1)}\}=\{s_m^{*i}\}$
若负： 以$P(x \to x')=e^{-\Delta E/kT}$的概率接受扰动，不接受时，$\{s_m^{(i+1)}\}=\{s_m^{i}\}$
> 原理
> 马尔可夫过程 细致平衡条件：
> $$\frac{P(x\to x')}{P(x\to x')}=\frac{W(x')}{W(x)}$$
* 迭代N次遍历所有格点得到$\{s_m^i\}.......(i=1,2,3,...)$
* 令$\{s_{m+1}^{(0)}\}=\{s_{m}^{(N)}\}$重复上述步骤
*最后力学量的平均值的估计值为：$$
=\frac{1}{MN}\sum_{m=m+1}^{m+M}\sum_{n=1}^N A(s_m^{(n)})$$
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第一次用markdown写东西，好像很方便的样子，结构也很简洁。现在用的是yu writer做编辑器，生成pdf再转成jpg，如果可以直接生成长图就很方便了。然而yu writer的这个功能看起来好像有bug。
