排列与组合

组合就是一个萝卜一个坑。排序就是在坑的基础上，给萝卜排排坐。

首先了解两个基本计数原理：

加法原理：（分类）

完成一件事有k种方式，第i种方式有n_i种方法，则完成该事件的方法总数为n₁+n₂+..+n_k

乘法原理：（分步骤）
完成一件事有m个步骤，其中第i步有n_i种方法，则完成该事件的方法总数为n₁*n₂*...*n_k

排列：
就是从n个不同的元素中任意取出m个，进行排序。

对于排列数，可以看作“分步解决”的问题，即：

第一步：从n个对象中选取1个，有n中选择方法。

第二步：从剩下的n-1个对象中选取1个，有n-1种选择方法。

... ...

第m步：从剩下的n-(k-1)个对象中选择1个，有n-k+1种选择方法。

所以，按照乘法原理，完成这个事件的方法总数为n(n-1)(n-2)...(n-k+1),

也即， $\frac { n! }{ (n-k)! }$ 。

组合：
即去掉排列中所有元素相同的排列，使每种元素相同的排列组只剩下一个排列即可。

$A\begin{matrix} k \\ n \end{matrix}$ 会产生 $\frac { n! }{ (n-k)! }$ 个排列，其中，对于任意排列 $\left( { a }_{ 1 },\quad { a }_{ 2 },\quad \cdots ,\quad { a }_{ k } \right)$ 都有 $A\begin{matrix} k \\ k \end{matrix}$ 个相同元素的排列存在，这是因为给k个元素排序，每个元素出现的概率都是相等的。所以，每一个元素相同的排列组里包含 $A\begin{matrix} k \\ k \end{matrix}$ 个排列， $\frac { n! }{ (n-k)! }$ 个排列可以分为 $\frac { A\begin{matrix} k \\ n \end{matrix} }{ A\begin{matrix} k \\ k \end{matrix} }$ 个元素相同的排列组，也就是说，从n个元素里选取k个元素组成一个组合，其选取方法总共有 $C\begin{matrix} k \\ n \end{matrix}=\frac { A\begin{matrix} k \\ n \end{matrix} }{ A\begin{matrix} k \\ k \end{matrix} } =\frac { n! }{ k!\left( n-k \right) ! }$ 种。

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