CF#1288A Deadline （函数求最值问题）

问题描述

题目大意

输入 $n$ 和 $d$ ， 能否找到 $x$ 使得 $x+ \lceil \frac{d}{x+1} \rceil \leq n \, ,(x \leq n)$
如果可以就输出"YES"，否则输出"NO"。

题目解析

这是一道有意思的题目，用上了高中的函数最值问题的求解。

令 $f(x)=x+ \lceil \frac{d}{x+1}\rceil \, ,x \leq n$

问题就转换为,判断 $f(x)_{min} \leq n$是否成立。

我们先忽略向上取整符号，只要最后 $f(x)$ 的结果向上取整就可以了。

令 $u=x+1\, ,u \leq n + 1$

于是， $f(u)=u+ \frac{d}{u} - 1\, ,u \leq n + 1$

我们对 $f(u)$ 求导，得 $f^{'}(u)=1- \frac{d}{u^{2}}$

令 $f^{'}(u)=0$，得 $u= \sqrt{d}\ ,x=\sqrt{d}+1$

当 $u > \sqrt{d}$ 时, $f^{'}(u)>0$, $f^{'}(u)$单调递增。
当 $u < \sqrt{d}$ 时, $f^{'}(u)<0$, $f^{'}(u)$单调递减。

所以 $x=\sqrt{d}+1$ 时， $f(x)$取得最小值， $f(x)_{min}=2\sqrt{d}-1$，只要判断 $2\sqrt{d}-1 \leq n$是否成立即可。

看似推导过程很长，但是只要是考过高考的人其实也就是两分钟的事情，还好我高中的东西还没有还给老师hhh。

题目代码

/**
 * Author: Veggie
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T, s, d;

//ceil是向上取整函数
int ok(int n, int d) {
    return ceil(2.0 * sqrt(d) - 1) <= n;
}
int main()
{
    cin >> T;
    while(T--) {
        cin >> n >> d;
        if (d <= n || ok(n, d))
            printf("YES\n");
        else
            printf("NO\n");
    }
    return 0;
}