葛立恒数

概述

2018年过年的时候, 在李永乐老师的视频里了解到"葛立恒数"这个东西, 现在呢, 自己想记录一下.

产生背景

以下摘自维基百科:

葛立恒数与拉姆齐理论有关：考虑一个n维的超立方体，在连结所有顶点后，将形成一个2n个顶点的完全图。将这个图的每条边填上红色或蓝色。求n的最小值，才使得所有填法中都必定存在一个在同一平面上有四个顶点的单色完全子图。

什么是n维的超立方体? 有兴趣的同学可以自己去找找资料, 今天重点是介绍葛立恒数.

基本知识

回想我们学过的数学运算:

• 加法是一级运算;
• 乘法是二级运算(加法的快捷方式);
• 乘方是三级运算(乘法的快捷方式);
• 什么是四级运算(乘方的快捷方式)? 下面的高德纳箭头可以说是;

什么? 不知道高德纳是谁? 《计算机程序设计艺术》就是他写的.

高德纳箭头定义了一种运算, 其运算规则为:
$a \uparrow^{n} b = \begin{cases} 1, &\text{if } b=0 \\ a^{b}, &\text{if } n=1 \\ a \uparrow^{n-1}(a \uparrow^{n}(b - 1)), &\text{其他 } \end{cases}$

注意, 这里的 $\uparrow^{n}$ 表示连续 $n$ 个 $\uparrow$;

高德纳箭头运算举例

• $3 \uparrow{2} = 3^{2} = 9$;
• $3 \uparrow{3} = 3^{3} = 27$;
• $3\uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3 \uparrow (3 \uparrow 3) = 3 \uparrow 27 = 3^{27} \approx7.6 \times 10^{12}$
• $3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3)= 3 \uparrow \uparrow 3^{27}=\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow ... \uparrow 3}_{3^{27}个3}=\underbrace{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}_{3^{27}个3}$

这个 $3 \uparrow \uparrow \uparrow 3$有多大呢? 打个比方, 对 $\underbrace{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}_{3^{27}个3}$ 而言, 如果一层占2厘米,
那么这种表示法可以从地球写到太阳, 光是乘方塔的层数就这么多.

好吧, 3个箭头的这个家伙已经想不出来有多大了, 然而葛立恒数起步就是从4个箭头开始的:

这个数字有多大? 只能说很大, 大到我们想象不出来, 以至于它的位数的位数都无法想象.
甚至说它的第一层 $3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$ 也不知道它有多大.

参考

葛立恒数 - 维基百科

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