Atcoder Typical DP Contest O 文字列

Description

构造一个小写字母构成的字符串，使小写字母 $i$ 出现了 $freq_i$ 次，且相同字母不能相邻，求方案数并对 $10^9 + 7$ 取模。

$1 \leq freq_i \leq10$。

Solution

计数 dp，先找出所有 $freq_i > 0$ 的小写字母，一个个插入字符串中。因为答案与插入顺序无关，所以我们按 aabbbccddddeeefgg 这样的顺序插入。在插入的过程中，难免会出现不合法的情况。举个栗子，如 *a a*c*b*d d d*b b*，不合法的位置有 $4$ 个，即为空格。合法位置有 $6$ 个，即为 *。可以发现三个性质：

1. $S$ 的合法位置数与不和法位置数之和为 $|S| + 1$
2. 没有两个合法位置或不合法位置是相邻的。
3. 每一个合法位置可以插入任意个字母，也可以不插。

所以容易想到状态，令 $f_{i,j}$ 为插入了所有的小写字母 $i$ 后，有 $j$ 个不合法位置的方案数。赋初值，将第一段 $freq_i > 0$ 的小写字母全部插入后的 $f_{i,j} = 1$。如 bbbccddddeeefgg 中 bbb 是第一段，于是 $f_{b - a = 1, 2} = 1$。

枚举 $i$，和 $f_{i-1,k}$ 中的 $k$，意味着 $f_{i,j}$ 会从 $f_{i-1,k}$ 转移。考虑将所有的小写字母 $i$ 插入到字符串中，无非是插入到合法的位置或不合法的位置。所以再枚举一个 $good$ 和 $bad$，如字面意思， $good$ 为插入到合法位置的段数， $bad$ 为插入到不合法位置的段数。为什么是段数而不是个数？根据性质二和三，插入的是一段相同的字母，且每段字母至长度至少为一，否则会重复计算答案。在枚举的过程中，同时维护一个在加入字母前的字符串长度 $sum$，用于确定枚举范围。

现在还没确定 $j$。考虑一个问题：将所有小写字母 $i$ 加入字符串，有 $good$ 段字母插入了合法位置，有 $bad$ 段字母插入了不合法位置。那么新产生了多少不合法的位置，又减少了多少不合法的位置？

减少的简单，就是 $good$ 个。可以发现，插入的字母分成了 $good + bad$ 段，那么有 $good + bad - 1$ 个间隔，一个间隔由至少一个其他字母构成，如果紧密集合的话，可能成为不合法位置的位置一共有 $freq_i - 1$ 个，所以增加了 $freq_i - 1 - good - bad + 1 = freq_i - good - bad$ 个不合法位置。

终上所述， $j = k - bad + freq_i - good - bad$。

完事具备，只欠转移。那么转移方程如下，其中 $sum + 1 - k$ 为根据性质一求出的合法位置个数， $C_{m}^n$ 为组合数可以预处理。可以发现，转移方程是根据乘法原理将每一部分相乘，其中的 $C_{freq_i - good - bad}^{f_i - 1}$ 是什么呢？因为我们是把一段段相同的字母插入合法的位置或不合法的位置，不仅要乘上几段字母插入到哪几个位置的方案数，还要乘上所有的字母 $i$ 是如何分成了几段字母的方案数。把一段字母看成一个盒子，每个字母看成一个球，一共 $good + bad$ 个盒子， $freq_i$ 个球，问题转换成求每个盒子至少一个球的方案数。套上插板法公式即可。

$f_{i,j} = f_{i,j} + f_{i - 1,k} \times C_{bad}^{k} \times C_{good}^{sum + 1 - k} \times C_{good + bad -1}^{freq_i - 1} \\ ans = f_{n-1,0}$

时间复杂度 $O(n^3)$，其中 $n = \sum_{i=0}^{25} freq_i$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 500 + 5, p = 1e9 + 7;
inline int read() {
    int X = 0,w = 0; char ch = 0;
    while(!isdigit(ch)) {w |= ch == '-';ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48),ch = getchar();
    return w ? -X : X;
}
int f[26][N], C[N][N], freq[N], sum, fir, n;
signed main() {
	for (int i = 0; i < 26; i++) {
		freq[n] = read();
		if (freq[n]) n++;
	}
	for (int i = 0; i <= 300; i++) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++) C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % p;
	}
    f[0][freq[0] - 1] = 1, sum = freq[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
    	for (int k = 0; k <= sum; k++) 
			for (int bad = 0; bad <= min(freq[i], k); bad++)
				for (int good = 0; good + bad <= freq[i] && good <= sum + 1 - k; good++) {
					int j = k - bad + freq[i] - good - bad;
					f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][k] * C[k][bad] % p * C[sum + 1 - k][good] % p 
					* C[freq[i] - 1][good + bad - 1] % p) % p;
				}
		sum += freq[i]; 
    }	
	printf("%lld\n", f[n - 1][0]);
	return 0;
}