CF1290C Prefix Enlightenment

Description

给定一个长度为 $n$ 的 01 串 $S$，和 $k$ 个 $S$ 的下标子集，且任意三个子集的交集为空集。一次操作可以选择一个子集，将子集中的下标对应的 $S_i$ 取反。令 $m_i$ 为让 $S_{1 \sim i} = 1$ 的最少操作次数，求出所有的 $m_i$，保证有方案。

$1 \leq n,k \leq 3 \times 10^5$。

Solution

因为三个子集的交集为空集，所以一个数最多出现在两个子集中。将每个子集拆成两个点，一个点为选这个子集，点权为 $1$，一个点为不选这个子集，点权为 $0$。将元素视为边，那么出现两次的元素可以将两个点连边，出现一次的可以与虚拟节点连边，没有出现的不连边。

那么你需要一个将两个点连上一条边，求图上一个点所在联通块的点权之和，而且要做到一个点必须不选。我会 dfs！，带权并查集大法好。

遍历 $i \in [1,n]$。

• $i$ 在子集 $A$ 中出现。如果 $S_i = 0$，那么将 $A$ 不选与 $\infty$ 虚拟节点合并。如果 $S_i = 1$，那么将 $A$ 选与虚拟节点 $\infty$ 合并。为什么要与 $\infty$ 合并？因为这个点一定不能选，为了避免以后选所以合并。

• $i$ 在子集 $A$ 和 $B$ 中出现。如果 $S_i = 0$，将 $A$ 选与 $B$ 不选合并， $A$ 不选与 $B$ 选合并。如果 $S_i = 1$，将 $A$ 选与 $B$ 选合并， $A$ 不选 与 $B$ 不选合并。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, k, fa[N], val[N], ans = 0;
vector <int> v[N]; 
char S[N];
int find(int x) {
    if (fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
} 
void merge(int x, int y) {
    x = find(x), y = find(y);
    if (x != y) fa[x] = y, val[y] += val[x];
}
int get(int x) {
    return min(val[find(x)], val[find(x + k)]);
}
int main() {
    scanf("%d%d%s", &n, &k, S + 1);
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        int m, x; scanf("%d", &m);
        while (m--) scanf("%d", &x), v[x].push_back(i);
    } 
    for (int i = 1; i <= k * 2 + 1; i++) fa[i] = i, val[i] = i > k; 
    val[k * 2 + 1] = INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (v[i].size() == 1) {  
            ans -= get(v[i][0]);
			merge(v[i][0] + k * (S[i] == '1'), k * 2 + 1);
			ans += get(v[i][0]);
        } else if (v[i].size() == 2) {
			if (S[i] == '0' && find(v[i][0]) != find(v[i][1] + k)) {
        		ans -= get(v[i][0]) + get(v[i][1]);
        		merge(v[i][0], v[i][1] + k), merge(v[i][0] + k, v[i][1]);
        		ans += get(v[i][0]);
        	}
			if (S[i] == '1' && find(v[i][0]) != find(v[i][1])) {
        		ans -= get(v[i][0]) + get(v[i][1]);
        		merge(v[i][0], v[i][1]), merge(v[i][0] + k, v[i][1] + k);
        		ans += get(v[i][0]);
        	}
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}