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题目描述

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.
Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?
Note: Given n will be a positive integer.
Example 1:

Input: 2
Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step
2. 2 steps

Example 2:

Input: 3
Output: 3
Explanation: There are three ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step + 1 step
2. 1 step + 2 steps
3. 2 steps + 1 step

算法设计

假设当有n个台阶时的方案数为 $F(n)$ ，那么我们可以发现 $F(1)=1$ ， $F(2)=2$ ，当 $n>2$ 时，分两种情况：

当最后一步只跨了一个台阶时，方案数为 $F(n-1)$
当最后一步跨了两个台阶时，方案数为 $F(n-2)$

因此当 $n>2$ 时， $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$
这实质上是一个斐波那契数列，只不过这里的第n项是斐波那契数列的第n+1项。

C++代码

递归（ $O(2^n)$ ）

class Solution {
  public:
    int climbStairs(int n) { return n == 1 ? 1 : n == 2 ? 2 : climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2); }
};

循环（ $O(n)$ ）

class Solution {
  public:
    int climbStairs(int N) {
        if (N <= 2)
            return N == 1 ? 1 : 2;
        int f0 = 1, f1 = 2;
        for (int i = 3; i <= N; ++i) {
            int f = f0 + f1;
            f0 = f1;
            f1 = f;
        }
        return f1;
    }
};

通项公式（ $O(1)$ ）

斐波那契数列的通项公式为 $F_n=\frac 1 {\sqrt5} \cdot [{(\frac {1+\sqrt5} 2)}^n-{(\frac {1-\sqrt5} 2)}^n]$

class Solution {
  public:
    int climbStairs(int n) {
        double sqrt5 = sqrt(5.0);
        return int((pow((1 + sqrt5) / 2.0, n+1) - pow((1 - sqrt5) / 2, n+1)) / sqrt5);
    }
};

事实上，由于当n比较大时， ${(\frac {1-\sqrt5} 2)}^n$ 会非常小，我们可以直接舍弃掉这一项，并利用round函数对 $\frac 1 {\sqrt5} \cdot {(\frac {1+\sqrt5} 2)}^n$ 进行四舍五入，再转换回int类型，也可以得到正确结果，即

class Solution {
  public:
    int climbStairs(int n) {
        double sqrt5 = sqrt(5.0);
        return round(pow((1 + sqrt5) / 2.0, n + 1) / sqrt5);
    }
};