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示例1：计算函数的不定积分

假设我们的函数表达式为 sqrt(A*x*x+B*x+C)，然后再手动选择几个附加条件（红框所示），再点击 “计算”，结果如下

点击 “编辑公式”，还可以得到 LaTeX 公式

$\int{\sqrt{A\,x^2+B\,x+C}}\,dx = {{\left(4\,A\,C-B^2\right)\,{\rm asinh}\; \left({{2\,A\,x+B}\over{ \sqrt{4\,A\,C-B^2}}}\right)+\sqrt{A}\,\left(4\,A\,x+2\,B\right)\, \sqrt{A\,x^2+B\,x+C}}\over{8\,A^{{{3}\over{2}}}}}$

示例2：“直线与二次贝塞尔曲线交点”

1.直线公式

A*x + B*y + C = 0

这里 A, B, C 为已知参数，x,y 是自变量。

注：【两点可以确定一条直线，所以 A、B、C 可以通过以下方式提前计算好，以避免重复计算】

$A=y_{2}-y_{1},B=x_{1}-x_{2},C=x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}$

写成截距式 $y=kx+b$ 的话就是

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$k={{y_{1}-y_{2}}\over{x_{1}-x_{2}}} , b=-{{x_{2}\, y_{1}-x_{1}\,y_{2}}\over{x_{1}-x_{2}}}$

2.二次贝塞尔曲线公式

已知二次贝塞尔曲线的公式为

$B(t)=(1-t)^{2}P_{0}+2t(1-t)P_{1}+t^{2}P_{2}, t\epsilon [0,1]$ ，则有

P(x, y) = (1-t)^2*P0(x0, y0) + 2*t*(1-t)*P1(x1, y1) + t^2*P2(x2, y2)

这里 x0, y0, x1, y1, x2, y2 为已知参数，t 是自变量。

将 x, y 分别整理之后，形如

x = (1-t)^2*x0 + 2*t*(1-t)*x1 + t^2*x2
y = (1-t)^2*y0 + 2*t*(1-t)*y1 + t^2*y2

然后将 x,y 带入直线公式，整理成只有一个自变量 t 的方程

A*(1-t)^2*x0 + 2*t*(1-t)*y0 + t^2*x1 + B*(1-t)^2*y1 + 2*t*(1-t)*x2 + t^2*y2 + C = 0

3.求解方程

接着将该式复制到网站（数学帝国）

即可解得直线和贝塞尔曲线的交点的解（一共有两个）：

1. $t=-{{\sqrt{\left(-B\,y_{1}-A\,x_{0}-C\right)\,y_{2}+\left(-B \,x_{1}-B\,C\right)\,y_{1}+y_{0}^2+\left(2\,x_{2}+2\,C\right)\,y_{0} +x_{2}^2+2\,C\,x_{2}+\left(-A\,x_{0}-C\right)\,x_{1}-A\,C\,x_{0}}-B \,y_{1}+y_{0}+x_{2}-A\,x_{0}}\over{y_{2}+B\,y_{1}-2\,y_{0}-2\,x_{2}+ x_{1}+A\,x_{0}}}$

2. $t={{\sqrt{\left(-B\,y_{1}-A\,x_{0}-C\right)\, y_{2}+\left(-B\,x_{1}-B\,C\right)\,y_{1}+y_{0}^2+\left(2\,x_{2}+2\,C \right)\,y_{0}+x_{2}^2+2\,C\,x_{2}+\left(-A\,x_{0}-C\right)\,x_{1}-A \,C\,x_{0}}+B\,y_{1}-y_{0}-x_{2}+A\,x_{0}}\over{y_{2}+B\,y_{1}-2\, y_{0}-2\,x_{2}+x_{1}+A\,x_{0}}}$