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【李宏毅深度强化学习】视频地址：https://www.bilibili.com/video/av63546968?p=5

课件地址：http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_MLDS18.html

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普通的Q-learning比policy gradient比较容易实现，但是在处理连续动作（比如方向盘要转动多少度）的时候就会显得比较吃力。

因为如果action是离散的几个动作，那就可以把这几个动作都代到Q-function去算Q-value。但是如果action是连续的，此时action就是一个vector，vector里面又都有对应的value，那就没办法穷举所有的action去算Q-value。

先介绍2种容易想到但效果不一定好的方法

1、穷举action

这个方法sample N个action，一个一个代到Q function里，看哪个a得到的Q value最大。

缺点：即便sample 很多很多个action，还是没办法把所有的action都穷举出来（因为它是连续动作）。这样就会导致结果不那么精确。

2、使用梯度上升求Q value

使用gradient ascent来求解，看采取什么action能让Q-function得到最大的Q value。

缺点：

由于使用gradient ascent，可能得到的结果只是局部的最优解。
每次考虑采取哪个a前，都要做一次类似于train network的工作，这个运算量太大

以上两种方法是比较容易想到，但是效果不好的方法，下面介绍一个比较好的方法

3、Normalized Advantage Functions（NAF）

设计一个新的网络来解连续动作的最优化问题。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/1603.00748.pdf

先给出概念如下，后面再讲具体的。

（公式3-1）

此时Q value 由状态值函数V与动作价值函数 A 相加而得。

（公式3-2）

其中 x 表示状态State，u表示动作Action，θ 是对应的网络参数，A函数可以看成动作 u 在状态 x 下的优势。我们的目的就是要使网络输出的动作 u 所对应的Q值最大。

具体来说，如下：

从buffer里sample一个batch的transition（ $s_t,a_t,r_t,s_{t+1}$ ），新的Q function以状态 $s_t$ ，动作 $a_t$ 作为输入，依据输入的 $s_t$ 得到输出 $\mu (s_t)$ （vector）， $\Sigma (s_t)$ （matrix）， $V(s_t)$ （scalar）

其中，在输出 $\Sigma (s_t)$ 这个矩阵前，其实先输出了矩阵L，矩阵L是对角线都是正数的下三角矩阵。然后根据乔列斯基（Cholesky）分解，构造出最终的 $\Sigma (s_t)$ 这个矩阵（对应公式3-2的P矩阵）。

输入的动作a再与上面三个结果进行组合形成Q function，如下图：

a和 $\mu (s)$ 转置后，变成1行N列；与矩阵相乘；与a和 $\mu (s)$ （N行1列）相乘，最终变成一个普通的数值，即标量（scalar），再加上 $V(s)$ 就是最后的Q value。另外，在状态s下要做出的action由 $\mu (s)$ 给出。这样，NAF就实现既输出动作action，也输出这个action对应的Q value。