直方图规定化（匹配）

（1）基本原理

上一篇博文中讲到的直方图均衡技术，可以自动地确定变换函数，而产生具有均匀直方图的输出图像。对于需要自动增强时，该算法仅需简单的操作就能扩展灰度级，且结果可以预知，因此是一种好方法。但是，不同图像出现的问题不尽相同，有时我们需要根据图像的某种缺陷，得出处理后的图像需要具有某种形状的直方图。因此，均衡化这样单一的方法显然不能成为万能钥匙。这时，就轮到直方图规定化技术登场了。规定化，顾名思义，就是规定好输出图像应该具有什么样形状的直方图。那么，这个“形状”该怎么规定呢？通常，我们指定一个规定的概率函数来表示所需的直方图，常用的有均匀分布函数、指数分布函数、双曲分布函数、高斯分布函数……
接着讨论如何实现直方图的规定化，以下是书中的推导(由于仍存在不理解的部分,暂且放弃自己推导)。注意，r和z分别表示输入图像和输出（已处理）图像的灰度级。
令s为一个具有如下特性的随记变量：
这里写图片描述
不难发现，这个式子就是前面推导的直方图均衡化的连续形式。
接着，我们定义一个有如下特性的随记变量z：

(重点来了，画圈圈的地方我不是很懂，为什么令s等于G(z)，推出来的结果就能使z的pdf等于r的pdf？)为了继续下去，我只有先假装认同这个任何书上都一笔带过的步骤（可能是我太笨了）。
由这两个等式可得G(z)=T(r)，因此就可以求出z：
这里写图片描述
总结来说，按照下列步骤，就可由一幅给定图像得到一幅灰度级具有指定概率密度函数的图像：
1. 由输入图像得到p(r),并求出s.
2. 由指定的概率密度函数求出G(z).
3. 求得反变换函数，并对所有输入像素应用第三个公式，即可求出输出图像.
实现的时候，需要利用上述公式的离散形式。重写如下：
这里写图片描述
其中符号与直方图均衡化中相同。

对一个q值，有：

与前面一样，利用反变换找到期望的z值：

实现上述公式的重点在于：该操作对每一个s值给出一个z值。这样，就形成了从s到z的一个映射。因此，实际中，我们并不需要计算G的反变换。计算q=0,1,2,…,L-1时的所有可能的G值是一件简单的事情。标定这些值，并取整。将这些值存储在一个表中，然后，给定一个特殊的Sk值后，我们可以查找存储在表中的最匹配值（离散情况下，不一定能找到相等的值，此时就要找最接近的值，即最匹配！）。重复该过程，我们将找到所有s值到z值的映射（当满足给定s值的z值多于一个时，即映射不唯一时，按惯例选择最小的值），他们就是最接近的解。

（2）编码实现

目前来说，在上述说到的查找最匹配的映射过程中，存在两种映射方法：单映射规则（SML）和组映射规则（GML）。具体区别很值得琢磨，以后另写一篇博文再研究，下面先用单映射规则编码实现。

% ***************************Copyright 2016[c]**************************
% ************************Declaration************************************
% File name:        histogram_specification
% Author:           靖Harry                                        
% Date:             22-Jul-2016 22:10:28                                  
% Version Number:   1.0
% Abstract:  
%   Transforms the original intensity image so that the histogram
%   of the output image with length bins approximately matches 
%   the specified histogram.            
% *********************************end*********************************
clear
clc
I1=imread('0.tif');
[m,n]=size(I1);
L=256;  % 灰度级

%对输入图像均衡化
nk=zeros(1,256);
for i1=1:m
    for j1=1:n
        nk(I1(i1,j1)+1)=nk(I1(i1,j1)+1) + 1 ;
    end
end
pk=nk/(m*n); 
sk=zeros(1,256);
for i2=1:L
    for j2=1:i2
        sk(i2)=sk(i2)+pk(j2);
    end
end
sk=fix((L-1)*sk);  % 取整数部分.

%规定化直方图
counts=[zeros(1,49),0.1,zeros(1,49),0.2,zeros(1,49),0.3,zeros(1,49),0.1,zeros(1,49),0.2,zeros(1,49),0.1]; 

%对规定直方图进行均衡化
gk=zeros(1,256);
     for i3=1:256
       for j3=1:i3
          gk(i3)=counts(j3)+gk(i3);                 
       end
     end     
 gk=fix((L-1)*gk);   % 取整数部分.

 %SML映射规则
for i=1:256
   minvalue=abs(sk(i)-gk(1)); %先假设与第一个G值为最小间距
   T(i)=0;
   for j=2:256
      if abs(sk(i)-gk(j))<minvalue
         minvalue= abs(sk(i)-gk(j)); %求出最小距离值，即最匹配值
         T(i)=j-1;     %建立映射关系
      end
   end
end

%将映射的结果组合成输出图像
I2=I1;
for i5=1:m
   for j5=1:n
      I2(i5,j5)=T(I2(i5,j5)+1); 
   end
end

subplot(2,2,1),imshow(I1),title('原图像');
subplot(2,2,2),bar(1:300,counts,'r'),title('规定直方图');
subplot(2,2,3),histeq(I1,counts),title('histeq函数处理结果');
subplot(2,2,4),imshow(I2),title('我的函数处理结果');

这里写图片描述
很明显可以看到，我写的函数处理的结果与matlab自带函数处理的结果仍有区别，我没看histeq函数内部的实现，在此做一个猜想：histeq函数采用的是组映射(GML)规则，而我的函数采用的是单映射(SML)规则。从前人的经验来看，采用SML映射方式，所得结果与规定直方图差距较大，而GML映射的结果，基本与规定直方图一致。两者相比较，GML映射规则的优势十分明显。具体映射规则的内容及差异下回再好好研究，在此先不做讨论。