hdu3307 Description has only two Sentences（欧拉函数）

题意：
给你三个数 $X,Y,a_0$，且 $a_n = X*a_n-1 + Y and \ Y mod \ (X-1) = 0.$
让你求一个最小的 $k$，使得 $a_k\mod\ a_0 = 0$，若不存在输出Impossible!。
思路：
首先我们要找到 $a_k$与 $a_0$的关系。
有以上递推式可得
$a_1=X*a_0+Y$

$a_2=X*a_1+Y=X^2*a_0+Y+X*Y$

$a_3=X*a_2+Y=X^3*a_0+Y+X*Y+X^2*Y$
$.....$
$a_k=X^k*a_0+Y+X*Y+X^2*Y+....+X^{k-1}*Y$

$\ \ \ \ \ =X^k*a_0+Y*\dfrac{X^k-1}{X-1}$

根据题意有
$a_0\ |\ a_k$

即
$a_0\ |\ Y*\dfrac{X^k-1}{X-1}$

即
$(X-1)*a_0 \ |\ Y*(X^k-1)$

令 $d=gcd((X-1)*a_0,Y)$

那么有

$\dfrac{(X-1)*a_0}{d} \ |\ \dfrac{Y}{d}*(X^k-1)$
因

$\dfrac{(X-1)*a_0}{d}$ 与 $\dfrac{Y}{d}$互质

所以有

$\dfrac{(X-1)*a_0}{d} \ |\ (X^k-1)$

令 $p=\dfrac{(X-1)*a_0}{d}$

有

$p\ |\ (X^k-1)$

即

$X^k\equiv 1(\mod p)$

显然上述模线性方程有整数解当且仅当 $gcd(X,p)=1$
接下来 寻找最小的 $k$
有一个结论是：
若存在 $k$满足上述模线性方程，那么有 $k\ | \ φ(p)$，即 $k$为 $φ(p)$的因子，所以我们只需要在 $φ(p)$的因子里验证一下是否存在最小的 $k$即可。
注意当 $Y=0$时，

$a_0\ |\ Y*\dfrac{X^k-1}{X-1}$ 显然成立，特判一下

上面推导过程是一般的流程，我因为忘了有 $(X-1)\ |\ Y$这个条件，所以可能较麻烦，各位看官可以自己加上这个条件自己推一下，似乎就不用特判 $Y=0$时了。

$AC \ Code:$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e6; 
ll phi(ll n){
    ll ans = n;
    for(ll i = 2;i <= sqrt(n);++i){
        if(n % i == 0){
            ans = ans / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans /n *(n - 1);
    return ans;
}
ll Qpow(ll a,ll b,ll p){
    ll ans = 1;
   // a %= p;
    while(b){
        if(b&1) ans = ans * a % p;
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return ans;
}
int main(){
    ll x,y,a0;
    while(cin>>x>>y>>a0){
        if(y == 0) {
            puts("1");
            continue;
        }
        ll d = __gcd((x-1)*a0,y);
        ll k = (x-1)*a0/d;
        if(__gcd(x,k) != 1) puts("Impossible!");
        else {
            ll a = phi(k);
            ll ans = (ll)1e16;
            if(Qpow(x,a,k) == 1) ans = a;
            for(ll i = 1;i <= sqrt(a);++i){
                if(a % i == 0){
                    if(Qpow(x,i,k) == 1) ans = min(ans,i);
                    if(Qpow(x,a/i,k) == 1) ans = min(ans,a/i);
                }
            }
            if(ans == (ll)1e16) puts("Impossible!");
            else cout<<ans<<endl;
        }
    }
}