一个思考Exlucas时的错误思路和对CRT的一些理解
小引
此文章是记录一些学习 \(Exlucas\) 时纠结的问题。
问题的原因是对 \(CRT\) 的理解不通彻，在此做出一些探讨。
正文
\(Exlucas\) 的模板问题是求：
\[ C^{n}_{m}\quad(mod\;p) \]
其中， \(n\) ， \(m\) 很大，不能够直接求阶乘。\(p\) 大小可接受但是不保证是质数。
扩展的思路是把 \(p\) 进行质因数分解，然后分别模分解后的 \(p_i^k\) 再用 \(CRT\) 组合起来。
我当时刚刚学完 \(Lucas\) 以为扩展是赤裸裸的 \(CRT+Lucas\) 就想直接模 \(p_i\) 不行吗？
并且陷入了这样一个问题：
给定 \(x\) 满足：
\[ \begin{cases} x\equiv a_1\quad(mod\;p_1)\\ x\equiv a_2\quad(mod\;p_2)\\ \cdots\\ x\equiv a_n\quad(mod\;p_n)\\ \end{cases} \\ \bf 和\\ \rm \begin{cases} x\equiv b_1\quad(mod\;p_1^{k_1})\\ x\equiv b_2\quad(mod\;p_2^{k_2})\\ \cdots\\ x\equiv b_n\quad(mod\;p_n^{k_n})\\ \end{cases} \]
作为前提的 \(x\) 是一样的，那么 \(CRT\) 为什么解出来的不同的 \(x\) 呢。（当时我真的是蠢枯了
现在看来，显而易见，\(x\) 不是唯一的，而是以所以模数的公倍数 \(M\) 为间隔的无限个数。
我们求出来的是满足条件的最小正整数解。第一个和第二个的解的关联是这样的：
所以，我们用 \(p_i\) 那租解出来的和 \(p_i^{k_i}\) 那组解出来的不是一个，而且也没法（或者我不知道，但是既然 \(Exlucas\) 还存在，那应该是没有）用其中一个还原另外一个。
所以，必须对 \(p_i^{k_i}\) 取模，就需要 \(Exlucas\) 的那些操作了。
\(\frak by\;thorn\_\)