网友 暮色星辰ing （Suzuha） 在 数学吧 发了一个 帖， 提问了一道 题， 这道题 是
g(x) = 5 / ( 2^x + 1 ) - 2 ， x ∈ [ 0, 2 ] ， y = [ 2 + g(x) ] [ 1 / g ( -x ) - 2 ] ， 求 y 的 值域 。
我做了一下，
我化简 得到 的 函数式 是 y = -25 * (2^x - 1) / [ (2^x + 1) (3 * 2^x - 2) ] ， 和 29 楼 一样，
当 x = 0 时， y = 0，
当 x = 2 时 ， y = -1.5，
不知道 29 楼 的 根号 6 是 哪里 冒出来 的，
渝中寿人 寿人 老师 拼命 的 求导数， 是不是 要 确定 y 的 极值点， 并以此 来 判断 x 在 [ 0, 2 ] 区间 里的 单调性 ？
回复 34 楼 渝中寿人 寿人 老师 新年好 。
这题 的 函数式 可以 进一步 化为 y = ( 2^x - 1 ) / ( 3 * 2^2x + 2^x - 2 ) ，
如果 这题 是 一个 高中题， 应该 可以 把 函数式 中的 一些项 消掉 变成一个 简单 函数， 比如 不是 分式， 但 看起来 好像 消不掉 。
如果 是 求导数 来 判断 极值， 那个 导数 求出来 大概 也很难 解 出 导数 为 0 时 的 x 。
So …… ？
接 37 楼 ，
如果 分母 是 2^2x - 2 * 2^x + 1 ， 那么 可以 化成 ( 2^x - 1 ) 2 ， 那么 就是
y = ( 2^x - 1 ) / ( 2^x - 1 ) 2
= 1 / ( 2^x - 1 )
这样 用 高中 的 知识也可以 判断 [ 0, 2 ] 区间 里 的 单调性 ， 可以 先 判断 2^x - 1 的 单调性， 再 判断 其 倒数 的 单调性 。
等等 。
37 楼 和 本楼 的 函数式 少了 系数 -25 ，不过这没关系， 乘上 一个 负系数 只是 让 单调性 反转 。
后来 楼主 公布了 答案 ， 我 按照 答案 的 思路 做了一遍 。
这样 ？
y = 3/u + 2u - 7 （1）式
yu = 3 + 2 u 2 - 7u
2 u 2 - ( 7 + y ) u + 3 = 0
u1 = 【 7 + y + 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4
u2 = 【 7 + y - 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4
当 u1 = u2 时， y 取 极值 ，
【 7 + y + 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4 = 【 7 + y - 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4
根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] = - 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ]
2 * 根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] = 0
(7 + y) 2 - 24 = 0
7 + y = +(-) 2 * 根号( 6 )
y = +(-) 2 * 根号( 6 ) - 7
y1 = 2 * 根号( 6 ) - 7
y2 = - 2 * 根号( 6 ) - 7
把 y1 代入 （1）式， 得 u = 根号( 6 ) / 2 ，
把 y2 代入 （1）式， 得 u = - 根号( 6 ) / 2 ，
因为 u ∈ [ 1/2 , 2 ] ， y1 得到 的 u = 根号( 6 ) / 2 在 [ 1/2 , 2 ] 内， y2 得到 的 u = - 根号( 6 ) / 2 不在 [ 1/2 , 2 ] 内，
所以， 取 y1， y1 是 u ∈ [ 1/2 , 2 ] 内 的 极值点，
因为 当 u = 1/2 时 ， y = 0， 当 u = 2 时 ， y = - 1.5 ，
0 和 -1.5 均 大于 y1 = 2 * 根号( 6 ) - 7 ， 所以 y1 是 u ∈ [ 1/2 , 2 ] 内 的 最小值，
所以， y 在 u ∈ [ 1/2 , 2 ] 内 的 值域 是 [ 2 * 根号( 6 ) - 7 , 0 ] 。
因为 有 y1， y2， 所以， y 在 y1， y2 都是 局部 极值， 或者说 峰值（谷值） 。
y1 对应 的 u = 根号( 6 ) / 2 ，
y2 对应 的 u = - 根号( 6 ) / 2 。
看来， 二次函数 或者 二次方程 才是 高中 判断 极值 的 主流 啊 ！