惯性导航的一些基础知识回顾

惯性导航中位置、速度、加速度和角速度是非常重要的概念，是深刻理解导航方程、误差方程的基础。

三种坐标系

描述载体运动，即载体坐标系( object frame) ， α;
运动所参照的坐标系，即参考坐标系(reference frame) ，β；
用于表现运动的坐标轴组成的坐标系，记作投影坐标系( resolving frame) ， γ 。

载体坐标系α 与参考坐标系β 不能相同，否则将不存在运动。投影坐标系可能是载体坐标系、参考坐标系，也可能是其他坐标系。只需定义投影坐标系的轴系方向，不需要定义其原点。另外投影坐标系的选择不影响矢量的幅度。

角速度

角速度( angular rate) 矢量 $\omega _{\beta \alpha }^{\gamma }$ ，表示α 坐标系相对于β坐标系的转动角速度在γ 坐标系中的投影。坐标变换矩阵的时间导数可表示为：

$\dot{C}_{\beta }^{\alpha }(t)=\lim_{t\rightarrow 0}(\frac{C_{\beta }^{\alpha }(t+\delta t)-C_{\beta }^{\alpha }(t)}{\delta t})$

将将载体坐标系α 的旋转看作是相对于固定坐标系β 的旋转，得到：

$C_{\beta }^{\alpha }(t+\delta t)=C_{\alpha(t) }^{\alpha(t+\delta t) }C_{\beta }^{\alpha }(t)=(I_{3}-\left [ \Psi _{\alpha (t)\alpha (t+\delta t)} \times \right ])C_{\beta }^{\alpha }(t)=(I_{3}-\delta t\left [ \omega _{\beta\alpha }^{\alpha } \times \right ])C_{\beta }^{\alpha }(t)$

$=(I_{3}-\delta t \Omega _{\beta\alpha }^{\alpha } )C_{\beta }^{\alpha }(t)$

综合上面两式得到： $\dot{C}_{\beta }^{\alpha }(t)=-\Omega _{\beta\alpha }^{\alpha } C_{\beta }^{\alpha }$

经过矩阵变换可得到： $\dot{C}_{\beta }^{\alpha }(t)=-\Omega _{\beta\alpha }^{\alpha } C_{\beta }^{\alpha }=C_{\beta }^{\alpha }\Omega _{\alpha\beta }^{\beta } =-C_{\beta }^{\alpha }\Omega _{\beta\alpha }^{\beta } =\Omega _{\alpha\beta }^{\alpha }C_{\beta }^{\alpha }$

笛卡尔位置（Catesian position)

α 坐标系的原点相对于β 坐标系原点的笛卡尔位置在γ 坐标系中投影。

速度

载体坐标系原点的位置相对于参考坐标系原点和坐标轴的变化率。载体坐标系α 相对于参考坐标系β 原点的移动，或者是参考坐标系β 相对于坐标系α 原点的移动，都会引人速度。然而，速度的定义不仅相对于参考坐标系的原点，还相对于参考坐标系的轴。因此，当参考坐标系β 相对于载体坐标系α 原点转动时也会引人速度。例如，观察者坐在办公椅上旋转，周围的物体就会相对于与椅子固连的参考坐标系移动。这对于导航尤其重要，因为通常采用的很多参考坐标系之间往往存在相对转动。需要注意的是， $v_{\beta \alpha }^{\gamma }$ 不等于笛卡儿位置 $r_{\beta \alpha }^{\gamma }$ 对时间的导数，这是由于投影坐标系γ 相对于参考坐标系β 存在转动。

$\dot{r}_{\beta \alpha }^{\gamma }=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(C_{\beta }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\beta })=\dot{C}_{\beta }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\beta }+C_{\beta }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\beta }=\dot{C}_{\beta }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\beta }+v_{\beta \alpha }^{\gamma }$

投影轴系和参考坐标系间的旋转在导航中很重要，因为当地导航坐标系的原点相对于地球发生移动时，当地导航坐标系就会相对于ECEF 坐标系旋转。如果参考坐标系和载体坐标系之间存在角运动，那么它们就不能像笛卡儿位置那样通过符号取反实现互换。正确的关系推导如下:

$v_{ \alpha\beta }^{\gamma }=C_{\alpha }^{\gamma }v_{\alpha \beta }^{\alpha }=C_{\alpha }^{\gamma }\dot{r}_{\alpha \beta }^{\alpha }=C_{\alpha }^{\gamma }\frac{\mathrm{d} (C_{\beta }^{\alpha }r_{\alpha \beta }^{\beta })}{\mathrm{d} t}$

$=-C_{\alpha }^{\gamma }\dot{C}_{\beta }^{\alpha }r_{\beta\alpha }^{\beta }-C_{\alpha }^{\gamma }C_{\beta }^{\alpha }\dot{r}_{ \beta\alpha }^{\beta }=-C_{\alpha }^{\gamma }\dot{C}_{\beta }^{\alpha }r_{\beta\alpha }^{\beta }-v_{\beta \alpha }^{\gamma }$

加速度

加速度( acceleration) 定义为一个坐标系的原点位置相对于另一个坐标系原点和坐标轴的二次时间导数。加速度是在参考坐标系中作用在单位质量物体上的力，它的幅值与投影坐标系无关。由于投影坐标系γ 相对于参考坐标系β 可能存在转动，加速度并不简单地等同于 $v_{\beta \alpha }^{\gamma }$ 的时间导数，或者 $r_{\beta \alpha }^{\gamma }$ 的二次时间导数：

$\dot{v}_{\beta \alpha }^{\gamma }=\frac{\mathrm{d} (C_{\beta }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\beta })}{\mathrm{d} t}=\dot{C}_{\beta }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\beta }+C_{\beta }^{\gamma }\ddot{r}_{\beta \alpha }^{\beta }=\dot{C}_{\beta }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\beta }+a_{\beta \alpha }^{\gamma }$

$\ddot{r}_{\beta \alpha }^{\gamma }=\frac{\mathrm{d} (\dot{r}_{\beta \alpha }^{\gamma })}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} (\dot{C}_{\beta }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\beta }+C_{\beta }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\beta })}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} (\dot{C}_{\beta }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\beta }+v_{\beta \alpha }^{\gamma })}{\mathrm{d} t}$

$=\ddot{C}_{\beta }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\beta }+2\dot{C}_{\beta }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\beta }+a_{\beta \alpha }^{\gamma }$

由 $\dot{C}_{\beta }^{\gamma }=-\Omega _{\beta\gamma }^{\gamma } C_{\beta }^{\gamma }$

得到： $\ddot{C}_{\beta }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\beta }=(\Omega _{\beta\gamma }^{\gamma} \Omega _{\beta\gamma }^{\gamma }-\dot{\Omega} _{\beta\gamma }^{\gamma})r_{\beta \alpha }^{\gamma }=\Omega _{\beta\gamma }^{\gamma} \Omega _{\beta\gamma }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\gamma }-\dot{\Omega} _{\beta\gamma }^{\gamma}r_{\beta \alpha }^{\gamma }$ ；

而 $\dot{C}_{\beta }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\beta }=-\Omega _{\beta \gamma }^{\gamma }C_{\beta }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\beta }=\Omega _{\beta \gamma }^{\gamma }(\dot{C}_{\beta }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\beta }-\dot{r}_{\beta \alpha }^{\gamma })$ ,

代入得到：

$\ddot{r}_{\beta \alpha }^{\gamma }=\ddot{C}_{\beta }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\beta }+2\dot{C}_{\beta }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\beta }+a_{\beta \alpha }^{\gamma }=-\Omega _{\beta \gamma }^{\gamma }\Omega _{\beta \gamma }^{\gamma }r_{\beta \alpha }^{\gamma }-2\Omega _{\beta \gamma }^{\gamma }\dot{r}_{\beta \alpha }^{\gamma }-\dot{\Omega} _{\beta\gamma }^{\gamma}r_{\beta \alpha }^{\gamma }-a_{\beta \alpha }^{\gamma }$

上式右边第一、二、三项分别为离心力、哥氏力以及欧拉虚力。

lz_scer

发布了3 篇原创文章 · 获赞 0 · 访问量 72

私信关注