在数学建模与生活实际问题中，我们经常会遇到“优化问题”。而所谓“优化”，就是对于一个目标函数，在给定一些等式或不等式的约束后，求极值的过程。高中学的“线性规划”，就是一种简单的优化问题。

现在我们来看，如何将相对复杂一点的“二次规划问题”（Quadratic Programming）在matlab中得以解决。

一.遍历法

这是最简单暴力的方法，根据约束条件得到自变量的取值范围，然后在自变量的取值范围中对自变量进行遍历，当因变量取得极值的时候问题就得到解决。

但是在整个过程中，需要许多“人工”的操作，比如手算取值范围，然后编程计算因变量的各种值，然后找出极值，balabala一堆事情，很不“自动化”。而且在很多情况下手算会十分复杂，所以不在所有情况下适用。

二.使用quadprog()函数

如图，是quadprog()函数的帮助文档

图中的数学公式，表示的是二次规划问题的一般形式。

而下方的Syntax部分表示的是这个函数的不同调用格式。

用一个例子具体说明式中各个变量的意思：

【例】解决二次规划问题

【分析】

1.目标函数的表示

对比文档，首先应该把目标函数表示成如下矩阵形式：

H矩阵与线性代数中的“二次型”十分相似，要注意的是与二次型不同的地方，这里有个系数1/2，所以矩阵H的元素是二次型中的矩阵元素大小的两倍。

本例中，，这是由于x1的平方项（即x1x1）系数为1/2，所以第1行第1列的元素为1=2*(1/2)，x2的平方（即x2x2）系数为1，所以第2行第2列的元素为2=2*1，x1x2项（即x2x1）的系数为-1，所以第1行第2列和第2行第1列的元素均为-1。

f矩阵则是目标函数中的一次项，这里写为 $f=\begin{bmatrix} -2\\ -6 \end{bmatrix}$

2.约束条件的表示

对比文档，约束条件需要表示成这种格式，而这里只有不等式约束，所以式中的Aeq和Beq为空。（eq的意思是equation，等式）

而

而约束条件中对变量x1和x2只给出下限，没有给上限，因此ub为空，（lb的意思是low_b:b的下限;ub的意思是up_b：b的上限）

3.使用程序解决问题

通过1.和2.两步，完成了目标函数与约束条件的表示，根据文档中的调用格式，录入程序即可

H=[1 -1;-1 2];
f=[-2;-6];
A=[1 1;-1 2;2 1];
b=[2;2;3];
lb=[0;0];
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)

注意最后一行不加分号，方便显示结果

显示结果如下：

x =

    0.6667
    1.3333


fval =

   -8.2222


exitflag =

     1


output = 

  包含以下字段的 struct:

            message: '太长了...省略'
          algorithm: 'interior-point-convex'
      firstorderopt: 2.6645e-14
    constrviolation: 0
         iterations: 4
       cgiterations: []


lambda = 

  包含以下字段的 struct:

    ineqlin: [3×1 double]
      eqlin: [0×1 double]
      lower: [2×1 double]
      upper: [2×1 double]

成功完成！

另外可以参考：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50598523

详细解释了二次型，正定矩阵，海塞矩阵的含义

此方家的空腹

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matlab解决有约束条件的二次规划问题

一.遍历法

二.使用quadprog()函数

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