lca
先给张图（声明luogu版权）
lca是什么呢，就是在一棵树里，两个节点的最近公共祖先
比如说，在上图中，4和5的lca就是2，8和10的lca就是1（很好理解对吗）
lca主要有这样一些解决的方法
向上标记法
顾名思义，从x向上走，走到根节点，标记。从y向上走，走到根节点，标记，第一次遇到标记过的点时，就是lca(x,y)
但是…时间上…卡一卡可以卡到O(n)
还是太慢了
倍增法
一个非常实用的算法
设f(x,k)为x的2k辈祖先，显然f(x,0) is x’s father
另外，f(x,k)=f(f(x,k-1),k-1)
这里可以使用一个dfs进行预处理，复杂度为O(n log n)
inline void dfs(int u,int fa){
f[u][0]=fa;
depth[u]=depth[fa]+1;
for(int i=1;(1<<i)<=depth[u];i++) f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
for(int i=head[u];~i;i=e[i].next) if(e[i].to!=fa)dfs(e[i].to,u);
}
接下来就是查询，是一个在线的操作，每次查询复杂度为log(n)
伪代码：
first let depth[x]>=depth[y]
second let depth[x]=depth[y]
if x=y print x
else push x,y up to there LCA's sons
print x's father
版权归属：kkksc03&&chen_zhe
真代码：
inline int lca(int x,int y){
if(depth[x]<depth[y]) swap(x,y);
while(depth[x]>depth[y]) x=f[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1];
if(x==y) return x;
_Rep(k,lg[depth[x]]-1,0) if(f[x][k]!=f[y][k]) x=f[x][k],y=f[y][k];
return f[x][0];
}
这里因为有查询log的操作，这里是加了一个常数优化
Rep(i,1,n) lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
这里应该挺好理解的，就不多说了
完整代码 luogu LCA模板
# include <cstdio>
# include <algorithm>
# include <cstring>
# include <cmath>
# include <climits>
# include <iostream>
# include <cstring>
# include <queue>
# include <vector>
# include <set>
# include <map>
# include <cstdlib>
# include <stack>
# include <ctime>
using namespace std;
# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define mct(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
# define gc getchar()
typedef long long ll;
const int N=5e5+5;
const int inf=0x7fffffff;
inline int read(){
int s=0,w=1;
char c=gc;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=gc;}
while(c>='0'&&c<='9')s=s*10+c-'0',c=gc;
return s*w;
}
int n,m,s;
int head[N],cnt,lg[N],f[N][20],depth[N];
struct Edge{
int to,next;
}e[N<<1];
inline void add(int x,int y){
e[++cnt]=(Edge){y,head[x]},head[x]=cnt;
}
inline void dfs(int u,int fa){
f[u][0]=fa;
depth[u]=depth[fa]+1;
for(int i=1;(1<<i)<=depth[u];i++) f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
for(int i=head[u];~i;i=e[i].next) if(e[i].to!=fa)dfs(e[i].to,u);
}
inline int lca(int x,int y){
if(depth[x]<depth[y]) swap(x,y);
while(depth[x]>depth[y]) x=f[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1];
if(x==y) return x;
_Rep(k,lg[depth[x]]-1,0) if(f[x][k]!=f[y][k]) x=f[x][k],y=f[y][k];
return f[x][0];
}
int main()
{
mct(head,-1);
n=read(),m=read(),s=read();
Rep(i,1,n-1){
int u=read(),v=read();
add(u,v);
add(v,u);
}
dfs(s,0);
Rep(i,1,n) lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
Rep(i,1,m){
int u=read(),v=read();
printf("%d\n",lca(u,v));
}
return 0;
}
树链剖分
树剖也可以求LCA，虽然效率也是O(log n)查询+O(nlogn)预处理，但是常数稍微小一点
虽然本蒟蒻不会，但还是贴个树剖代码吧…
树剖模板
//树链剖分
# include <cstdio>
# include <algorithm>
# include <cstring>
# include <cmath>
# include <iostream>
# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=2e5+5;
inline int read() {
int s=0,w=-1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9')s=s*10+c-'0',c=getchar();
return s*w;
}
struct Edge{
int to,next;
}e[2*N];
int cnt,n,m,r,mod,head[N],w[N],wt[N],res;//w表示原来的权重，wt表示线段树的权重
void add(int x,int y){
e[++cnt]=(Edge){y,head[x]},head[x]=cnt;
}
int t[4*N],laz[4*N];//线段树，懒标记
int son[N],id[N],faz[N],dep[N],top[N],siz[N],give_num;//树链剖分数组
//=========================================================华丽的分割线
//线段树.begin()
# define mid ((l+r)>>1)
# define lson rt<<1,l,mid
# define rson rt<<1|1,mid+1,r
# define len (r-l+1)
void push_up(int rt,int lens){
laz[rt<<1]+=laz[rt];
laz[rt<<1|1]+=laz[rt];
t[rt<<1]+=laz[rt]*(lens-(lens>>1));
t[rt<<1|1]+=laz[rt]*(lens>>1);
t[rt<<1]%=mod;
t[rt<<1|1]%=mod;
laz[rt]=0;
}//push_up操作
void make_tree(int rt,int l,int r){
if(l==r){
t[rt]=wt[l];
if(t[rt]>mod)t[rt]%=mod;
return;
}
make_tree(lson);
make_tree(rson);
t[rt]=(t[rt<<1]+t[rt<<1|1])%mod;
}
void ask(int rt,int l,int r,int L,int R){
if(L<=l&&r<=R){res+=t[rt];res%=mod;return;}
else{
if(laz[rt])push_up(rt,len);
if(L<=mid)ask(lson,L,R);
if(R>mid)ask(rson,L,R);
}
}
void update(int rt,int l,int r,int L,int R,int k){
if(L<=l&&r<=R){
laz[rt]+=k;
t[rt]+=k*len;
}
else{
if(laz[rt])push_up(rt,len);
if(L<=mid)update(lson,L,R,k);
if(R>mid)update(rson,L,R,k);
t[rt]=(t[rt<<1]+t[rt<<1|1])%mod;
}
}
//线段树.end()
//=========================================================华丽的分割线
//各种操作.begin()
void work_one(int x,int y,int k){//第一种操作
k%=mod;
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
update(1,1,n,id[top[x]],id[x],k);
x=faz[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
update(1,1,n,id[x],id[y],k);
}
int work_two(int x,int y){
int ans=0;
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
res=0;
ask(1,1,n,id[top[x]],id[x]);
ans+=res;
ans%=mod;
x=faz[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
res=0;
// cout<<"id[x]="<<id[x]<<" id[y]=" <<id[y]<<endl;
ask(1,1,n,id[x],id[y]);
ans+=res;
return ans%mod;
}
void work_three(int x,int k){
//cout<<"id[x]="<<id[x]<<" "<<"size[x]="<<siz[x]<<endl;
update(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1,k);//子树区间右端点为id[x]+siz[x]-1
}
int work_four(int x){
res=0;
ask(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1);
return res%mod;
}
//各种操作.end()
//=========================================================华丽的分割线
//树链刨分分割.begin()
void dfs1(int u,int father,int depth){
faz[u]=father;
dep[u]=depth;
siz[u]=1;
int hevson=-1;//重儿子
for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].to;
if(v==father)continue;//如果是父亲节点就继续
dfs1(v,u,depth+1);
siz[u]+=siz[v];//把儿子（后代）的数量加起来
if(siz[v]>hevson)son[u]=v,hevson=siz[v];
}
}
void dfs2(int u,int top_chain){
give_num++;
id[u]=give_num;
//cout<<u<<"-->"<<give_num<<endl;
wt[give_num]=w[u];
// cout<<wt[give_num]<<" "<<u<<endl;
//线段树更新每个点的id
top[u]=top_chain;
if(!son[u])return;//如果没有儿子直接return
dfs2(son[u],top_chain);//重儿子继续这个链
for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].to;
if(v==faz[u]||v==son[u])continue;
dfs2(v,v);
//找轻儿子，每个轻儿子都是一个链头
}
}
//树链剖分分割.end()
//=========================================================华丽的分割线
//主函数.begin()
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&mod);
Rep(i,1,n) scanf("%d",&w[i]);
Rep(i,1,n-1){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
dfs1(r,0,1);
dfs2(r,r);
make_tree(1,1,n);
Rep(i,1,m){
//Rep(i,1,n)cout<<"t["<<i<<"]="<<t[i]<<" ";cout<<endl;
int pd=3,x,y,z;
cin>>pd;
if(pd==1){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
work_one(x,y,z);
}
else if(pd==2){
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",work_two(x,y));
}
else if(pd==3){
scanf("%d%d",&x,&y);
//printf("orzgjm\n");
work_three(x,y);
}
else{
scanf("%d",&x);
printf("%d\n",work_four(x));
}
}
return 0;
}
