磁场的不均匀性引起的漂移

如果磁场具有横向（垂直于磁场方向）的梯度或者曲率，则粒子回旋运动的回旋半径会不一样，从而产生垂直于磁场的漂移。

梯度漂移

设磁场沿 $z$方向，梯度 $\nabla |\vec{B}|$沿 $x$方向。粒子在该磁场中运动，在强磁场区其瞬时回旋半径减小，在弱磁场区，其瞬时回旋半径增加。则粒子会产生 $y$方向的位移。若在粒子回旋轨道内，磁场的变化很小，则在 $x$方向，粒子是周期运动的，这意味着在一个周期内， $\vec{v}\times\vec{B}$的 $x$分量的积分是0，即
$\oint F_x dt=q\oint v_y Bz dt=0$

在导向中心处，对磁场做Taylor展开，只保留一阶项，磁场可以写为
$B_z(x)=B_z(x_0)+\frac{\partial B_z}{\partial x}(x-x_0)+\cdots$

将其代入方程中，可得
$B_z(x_0)\oint v_y dt+\frac{\partial B_z}{\partial x}\oint v_y(x-x_0)dt=0$

上式第一项积分得到的是 $\Delta y$，在一个回旋周期内 $y$方向的位移。第二项积分得到的是近圆轨道区域面积的负值（负值是因为回旋方向与磁场方向相反），即
$\oint v_y(x-x_0)dt=\oint(x-x_0)dy=-\frac{q}{|q|}\pi \rho_c^2$

方程化为
$B_z \Delta y-\frac{\partial B_z}{\partial x} \left( \frac{q}{|q|}\pi \rho_c^2 \right)=0$

则梯度漂移速度 $v_G$可以写成
$v_G=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{1}{\Delta t} \frac{1}{B_z}\frac{\partial B_z}{\partial x} \left( \frac{q}{|q|}\pi \rho_c^2 \right)$
令
$\Delta t=2\pi / \omega_c$

$\omega_{\bot}=(m/2) \omega_c^2\rho_c^2$
其中 $\omega_c$为粒子回旋运动的频率。 $\omega_{\bot}$为垂直于磁场方向的动能，即 $\omega_{\bot}=(m/2)v_{\bot}^2$，则 $v_G$可以简化为
$v_G=\frac{\omega_{\bot}}{qB_z} \left[ \frac{1}{B_z} \frac{\partial B_z}{\partial x} \right]$

将其推广为矢量形式
$\vec{v}_G= \frac{\omega_{\bot}}{q|\vec{B}|} \left[ \frac{\vec{B} \times \nabla |\vec{B}|}{|\vec{B}|^2} \right]$

曲率漂移

若磁场存在曲率，粒子在其中运动时，会受到离心力（centrifugal force）的作用
$F_C=\frac{mv_{\parallel}^2}{R_C}$

其中 $R_C$为磁场的曲率半径。这个力由垂直于磁场，由曲线的中心指向外侧。为求出曲率漂移速度，构造出一个电场
$\vec{E}_C=\frac{\vec{F}_C}{q}$

再根据电场产生的漂移速度，可以得到
$\vec{v}_C = \frac{\vec{E}_C \times \vec{B}}{|\vec{B}|^2} = \frac{\vec{F}_C \times \vec{B}}{q|\vec{B}|^2} = -m\frac{v_{\parallel}^2}{R_C^2} \frac{\vec{R}_C \times \vec{B}}{q|\vec{B}|^2}$

负号是因为离心力方向与曲率半径方向相反（曲率半径方向指向曲率中心）。引入平行动能 $\omega_{\parallel}=(1/2)mv_{\parallel}^2$，曲率漂移可以写成与梯度漂移相似的形式
$\vec{v}_C = \frac{2\omega_{\parallel}}{q|\vec{B}|^2} \left[ \frac{\vec{B} \times \vec{R}_C}{|\vec{R}_C|^2} \right]$

梯度漂移、曲率漂移与电场漂移的比较

1. 梯度漂移速度与曲率漂移速度正比于动能，而 $\vec{E}\times\vec{B}$漂移不依赖于粒子的动能。因此 $\vec{E}\times\vec{B}$漂移趋向于主导低能（“冷”）粒子的运动，而梯度漂移和曲率漂移趋向于主导高能（“热”）粒子的运动。
2. 梯度漂移与曲率漂移都与粒子所带电荷有关，而 $\vec{E}\times\vec{B}$漂移不依赖于粒子所带电荷。因此梯度漂移与曲率漂移会产生电流，而 $\vec{E}\times\vec{B}$漂移不会。
3. 梯度漂移与曲率漂移并不会使粒子沿着等势面运动，所以粒子可以获得或者失去能量。