§11 商环
显见:同态的核是一个理想。那么,是不是每一个理想都是某一个同态的核?
定理1.11.1
每个理想都是某一同态的核。
证明
设
I 是环
L 的一个理想。
I 作为
L 的加法群的子群,
L 的元素按
I 分成陪集:
r+I,r∈I.
因为加法群是交换的,故陪集之间可以定义加法。即:
(r1+I)+(r2+I)=r1+r2+I.
下面证明:任意两个陪集的积仍属于某个陪集。设:
x=r1+a∈r1+I, 其中a∈I.
y=r2+b∈r2+I, 其中b∈I.
故
xy=(r1+a)(r2+b)
=r1r2+ar2+r1b+ab∈r1r2+I.
即:
(r1+I)(r2+I)⊂r1r2+I.
定义:
(r1+I)(r2+I)=r1r2+I.
可见:两个陪集的乘积和所乘的陪集代表
r1,r2 无关,因此这个定义合理。
陪集的运算实际上归结于陪集代表的运算,故不难验证乘法结合律核分配律。因此,全体陪集所成的集合在如此规定的运算下成一个环。
定义1.11.1
设
I 是环
L 的一个理想。
L 对于
I 的陪集在上面的定义下所成的环称为
L 对于
I 的商环,记为
L/I.
不难看出:映射
σ(a)=a+I, a∈I.
是环
L 到商环
L/I 的一个满同态。这个同态的核就是理想
I.
故原定理成立:每个理想都是某个同态的核!
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