树（C语言）

树

树的定义

树（Tree）： $n(n \geq 0)$个结点构成的有限集合。当n=0时，称为空树。
对于任一棵非空树（ $n>0$）,它具有以下性质：

• 树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用r表示；

• 其余结点可分为 $m(m>0)$个互不相交的有限集 $T_1,T_2,……,T_m$,其中每一个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树（SubTree）”
  

• 子树是互不相交的；

• 除了根节点外，每个结点有且仅有一个父节点；
  不是树的几个例子：
  

• 一棵N个节点的树有N-1条边。(除了根结点，其余节点往上都有一条边)

树的一些基本术语

1. 结点的度(Degree)：结点的子树个数（即结点下面直接连着的边的条数。）

2. 树的度：树中所有结点中最大的度数

3. 叶结点(Leaf)：度为0的结点

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4. 父结点(Parent)：有子树的的结点是其子树的根结点的父结点

5. 子结点(Child)：若A结点是B结点的父结点，则称B结点是A结点的子结点，子结点也称孩子结点。

6. 兄弟结点(Sibling)：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点。

7. 路径和路径的长度：从结点 $n_1$到 $n_k$的路径为一个结点序列 $n_1,n_2,...,n_k$, $n_i$是 $n_{i+1}$的父结点。路径所包含边的个数为路径的长度。

8. 祖先结点(Ancestor)：沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点。

9. 子孙结点(Descendant)：某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙。

10. 结点的层次(Level)：规定根结点在1层，其他任一结点的层数是其父结点的层数加1。

11. 树的深度(Depth)：树中所有结点中最大层次是这棵树的深度。

树的表示

1. 数组实现
   很难，因为不容易判别一个结点的父结点子结点和兄弟结点等等，故一般不用。
2. 链表实现
   1. 结点不一致
      
      由于代码方面很难设计，所以一般不用。
   2. 结点一致

      1. 按照树的度来设计结点指针域
         若树的度为 $d$，则设计 $d$个指针域。但是有些结点不一定有 $d$个子结点，故会造成空间的浪费。
         假设有 $n$个结点，那么会被设计 $n \times d$个指针域，但是 $n$个结点只有 $n-1$条边，所以将会有 $n \times d-n+1$个指针域的空间被浪费。

      2. 儿子-兄弟表示法：每个结点设计两个指针域。第一个用来指向该结点的第一个子结点，第二个用来指向该节点的兄弟结点
         

         针对上面的树，得到的表示图形如下：
         

         假设有 $n$个结点，那么会被设计 $2n$个指针域， $n$个结点有 $n-1$条边，所以只会有 $n+1$个指针域的空间被浪费。
         将链表表示图旋转45度，将会得到一个二叉树的图。

         

         由此可见，一般的树都可以用二叉树链表来实现，所以二叉树的内容在树中是很重要的，接下来着重学习二叉树。