前言

原理

引进如下定义：
1. $Preferred\ \ Child$ 偏爱儿子（重儿子）：一个节点最多只有一个偏爱儿子，且偏爱儿子与其父亲同位于一棵 $Splay$ 上。与链剖大相近庭的是，这里的偏爱儿子是任意选择的。
2. $Preferred\ \ Edge$ 偏爱边（重边）：顾名思义，就是偏爱儿子与其父亲相连的边。
3. $Preferred\ \ Path$ 偏爱路径：由偏爱边连接而成的链。
4. $Auxiliary\ \ Tree$ 辅助树：由一条偏爱路径上的所有节点所构成的 $Splay$ 称作这条链的辅助树。
可以得出，偏爱路径没有公共点。
$Splay$ 排序的关键字是节点的深度。因为每个点只能发散出一条偏爱边，故一个深度在 $Splay$ 上对应一个节点！！！
每棵 $Splay$ 的根节点指向它的父亲（灰色边）。但它的父亲并不指向它。
~~即爹不认儿子~~
如下图，橙色边表示 $Splay$ ，灰色边表示连接 $Splay$ 之间的边。

经过处理偏爱路径的树
任意一条链的辅助树

bool isRoot(int u){
    return son[fa[u]][0]!=u&&son[fa[u]][1]!=u;
}

int Check(int u){
    return son[fa[u]][1]==u;
}

$Access$ 操作是动态树问题的最重要操作，它的目的是为了能够在一棵 $Splay$ 上进行查询，修改，删除，且保证这棵树上只有需要查询的一条链上的点。
$Access(x)$ 表示将根节点到 $x$ 这个点的路径变为偏爱链，将 $x$ 与其儿子的所有边都变为非偏爱边。
具体如何操作？
我们首先需要把节点 $N$ 往下连出的边变为非偏爱边，即删除 $N-O$ 一边。
鉴于 $Splay$ 中深度是唯一的，所以我们在 $N$ 所在的 $Splay$ 中，把 $N$ 旋转为根，其右儿子必定为点 $O$ ，删除即可（将右儿子标记为 $0$ ）。
往上走，我们需要把 $I-K$ 这条边变为轻边，把 $I-L$ 变成重边。
前者与上面的思路一样，后者直接将 $I$ 的右儿子置为 $L$ 即可。
以此类推，可以完美解决这个操作。
就不难得到代码。~~别人的~~代码打得很巧妙~~我就Copy了~~

void access(int u){
    for(int v=0;u;v=u,u=fa[u])
        splay(u),ch[u][1]=v,update(u);//旋转为根，删除/连接右节点，更新当前点
}

$Makeroot$ 也是动态树的最重要的操作。
$Makeroot(x)$ 表示将 $x$ 变为 $Link-Cut-Tree$ 的根。
考虑这个操作的意义。对于许多操作来说，都是询问一条经过根节点的路径，然而因为 $Link-Cut-Tree$ 的构造使得这样的问题做起来十分棘手。但是对于只查询根节点一侧的边时，这样的问题便变得十分简单。于是考虑换根。
这里有一个很巧妙的思路。
首先 $Access(x)$ ，使得根节点到 $x$ 的路径在同一棵 $Splay$ 上。
这时候的 $x$ 是没有右儿子的。因为没有比它更深的点。
此时我们 $Splay(x)$ ，将 $x$ 变为根。我们希望 $x$ 同样不含右儿子。
但是实际上， $x$ 将会变得没有左儿子。
怎么办？
于是有一个骚操作：直接将 $x$ 的左右子树翻转！
这样以后， $x$ 变没有右儿子了。
虽然很奇怪，但是确是对的。

void makeroot(int x) {//把x改为原树的根节点 
    access(x); splay(x);
    lazy[x]^= 1;//更新翻转标记
}