1.4 子群和陪集

§4 子群和陪集

为了讨论群的问题，下面我们引入子群和陪集的概念：

定义1.4.1（子群）

若群 $G$ 的非空子集合 $H$ 对于 $G$ 的运算也成一个群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群。

定义1.4.2（平凡/非平凡子群）

在群 $G$ 中仅由单位元素 $e$ 组成的子集合 $\{ e\}$ 和群 $G$ 本身被称为 $G$ 的平凡子群。其余的子群被称为非平凡子群。
$H$ 是 $G$ 的子群可记为 $“H<G\ ”$ 。

定理1.4.1

群 $G$ 的非空子集合 $H$ 是一子群的充要条件是：由 $a,b\in H$ 推得 $ab^{-1} \in H$。

证明
必要性显然，下证充分性：
因为 $H$ 为非空集合，故至少含有一个元素，记为 $a$ 。由 $a,a \in H$：
$aa^{-1}=e \in H.$
由 $e,a \in H$ 得： $ea^{-1}=a^{-1} \in H$。 由 $a,b \in H$ 得： $b^{-1}\in H$。从而有：
$a(b^{-1})^{-1}=ab \in H.$
即证得 $H$ 为 $G$ 的一个子群。 $\blacksquare$

显然：任意多个子群的交仍为一个子群。下面定义陪集的概念：
定义1.4.3（陪集）

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群。对于 $G$ 中任一元素 $a$，称
$\{ah | h\in H \}$
为 $G$ 的一个左陪集，记为 $aH$ 。因为 $H$ 中有单位元素，故 $a \in aH$。
同样地可以定义右陪集的概念。

显然， $h \mapsto ah$ 是子群 $H$ 到右陪集 $aH$ 的一个双射。同样， $h \mapsto ha$ 是子群 $H$ 到左陪集 $Ha$ 的一个双射。因此，可以立即得知：每个左（右）陪集与 $H$ 有着一样多的元素！

定理1.4.2

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群。 $H$ 的任意两个左（右）陪集或相等，或无公共元素。 群 $G$ 可表示为若干个不相交的左（右）陪集的并。

证明
不妨设 $aH,bH$ 为两个左陪集，并假设它们有公共元素 $h_{1},h_{2} \in H$， 使得 $ah_{1} = bh_{2}$ 故 $a=bh_{2}h_{1}^{-1} = bh^{3}$，其中 $h_{3} \in H$。由于
$ah=bh_{3}h \in bH$
可知 $ah \subset bH$，同理可得 $bH \subset aH$，即：
$aH=bH$
因为 $a \in aH$，故
$G=\bigcup_{a\in G}aH.$
去除其中所有重复的陪集即得到
$G=\bigcup_{\alpha}a_{\alpha}H.$
其中当 $\alpha \neq \beta$ 时，有 $a_{\alpha}H \cap a_{\beta}H = \varnothing.$
故原命题证毕。 $\blacksquare$

推论1.4.1（Lagrange定理）

设 $G$ 为一有限群， $H$ 是它的一个子群。则 $|H|$ 整除 $|G|$。

证明

设 $|G|=n，|H|=t$。由定理1.2.2：
$G=a_{1}H\cup \dotsb \cup a_{r}H_{r}$
其中出现的陪集两两不相交。因为 $|a_{i}H|=|H|=t$ ，故 $n=rt$。 $\blacksquare$

定义1.4.4（陪集代表）

元素 $a$ 称为左陪集 $aH$ 的一个陪集代表（同理可定义右陪集的）。陪集中任意元素都可以取作这一陪集的代表。

在群 $G$ 中，任意一个元素 $a$ 的全体方幂
$\{ a^{m}, m \in \mathbb{Z} \}$
显然成一子群。称其为由 $a$ 生成的子群。显见：元素 $a$ 的方幂或两两全不同，或存在一正整数 $l$ ，使得 $a^{l} = e$ 。

定义1.4.5（元素的阶）

对于后一种情形：一定存在某个最小的正整数 $d$ ，使得 $a^{d} = e$于是 $a, a^{2}, \dotsb, a^{d}$ 就是 $a$ 全部不同的方幂。称元素 $a$ 生成的子群的阶为元素 $a$ 的阶。

由Lagrange定理可得：

推论1.4.2

设 $G$ 为一个有限群。 $G$ 中每个元素的阶必整除 $|G|$ 。令 $|G|=n$ ，对于 $G$ 中每个元素 $a$ 均有：
$a^{n} = e$

证明

由Lagrange定理：推论前半部分显然。设元素 $a$ 的阶为 $d$ 。则有 $n=dn_{1}$，故
$a^{n}=a^{dn_{1}}=(a^{d})^{n1}=e^{n1}=e.\ \blacksquare$