人老了，记性就不好，这个文章主要是整理一些定理，方便后面复习。没有证明。
常见的积性函数
单位函数
\[\epsilon(n)=[n=1]\]
欧拉函数
\[\varphi(n)=n\sum(1-\frac{1}{p_i})\]
表示小于等于n的数字中与n互质的数字个数。
莫比乌斯函数
\[\mu(x)=\begin{cases}1 &(x=1)\\ (-1)^k & x=p_1p_2...p_k\\ 0 & else\end{cases}\]
正因子数
\[d(n)=\sum\limits_{i|n}1\]
因子函数
\[\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k\]
易知\(\sigma_0(n)=d(n)\)
\(\sigma_1(n)\)一般记作\(\sigma(n)\)
常值函数
\[1(n)=1\]
幂函数
\[Id_k(n)=n^k\]
特别的，\(Id_1(n)\)常记作\(Id(n)\)
狄利克雷卷积
对于两个数论函数\(f\)，\(g\)
\[f*g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\]
其中*为狄利克雷卷积的运算符号。如果f和g为积性函数，那么\(f*g\)也为积性函数。
性质
1.对于任意的数论函数f有
\[f*\epsilon=f\]
2.\[Id = 1*\varphi\]
3.\[\epsilon=1*\mu\]
4.\[\sigma_k=1*Id_k\]
莫比乌斯反演
如果\(g=f*1\)
那么有\(f=f*\epsilon=f*1*\mu=g*\mu\)
莫比乌斯反演常用卷积：\(\mu*1=\epsilon,Id=1*\varphi\)