莫队知识点讲解

何谓莫队

一种将询问以一种特定的顺序处理来支持离线处理区间询问的算法。

实现方式

举个栗子：

BZOJ1878 HH的项链

给一个长为 $n$的序列，取出其中的一段区间 $[L,R]$，问其中有多少种不同的数字。 $n\le5\times10^4$

如果有一段区间 $[L,R]$中的数为 $\{1,1,2,3,1,2,4\}$，我们思考将其变为 $[L,R-1]$与 $[L,R+1]$答案的变化。

我们记录一下每个数的出现次数，如果区间变为 $[L,R-1]$，那么 $4$的出现次数就由 $1$变为 $0$，所以 $4$就不在当前的区间中，种类数 $-1$。

再思考区间变为 $[L,R+1]$的情况，如果加入的是 $3$，那么 $3$的出现次数由 $1$变为 $2$，对答案无任何影响，但如果加入的是 $5$，那么 $5$的出现次数由 $0$变为 $1$，答案 $+1$。

区间变为 $[L-1,R]$和 $[L+1,R]$的情况同理。

所以对于两个询问 $[2,3]$与 $[1,5]$，我们只需移动两次右区间，移动一次左区间，所以我们就得到了一个上界为 $O(n^2)$的算法，但对于随机数据远远跑不满。

但这样还远远不够，在极端数据下，算法还是 $O(n^2)$的时间复杂度。所以我们可以想到将询问以另外的一种顺序进行处理，来使得时间复杂度更小。

一种想法是将询问的左端点进行分块，排序时第一关键字为左端点的块的编号，第二关键字为右端点的大小，这样做会使时间复杂度达到 $O(n\sqrt n)$。

时间复杂度证明

下面的证明均假设 $n,m$同阶。

左端点所在的块是单调递增的，所以每次询问左端点最多在一个块内移动，最坏从最右端移到最左端，所以最坏移动次数为 $n\sqrt n$。

当左端点在同一块内时，右端点单调递增，最坏总移动步数为 $O(n\sqrt n)$，左端点移动到另一个块时，右端点最坏从 $n$移动到 $1$，时间复杂度 $O(n\sqrt n)$。

综上，总时间复杂度为 $O(n\sqrt n)$。

代码(HH的项链)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
	int l,r,id,pos,ans;
}b[1000005];
int a[1000005],cnt[1000005],now=0,len,l=1,r=0;
int Read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')  f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
bool cmp1(node p,node q){
	if(p.pos!=q.pos) return p.pos<q.pos;
	return p.r<q.r;
}
bool cmp2(node p,node q){
	return p.id<q.id;
}
void Del(int x){
	cnt[a[x]]--;
	if(!cnt[a[x]])  now--;
}
void Ins(int x){
	if(!cnt[a[x]])  now++;
	cnt[a[x]]++;
}
void query(int x){
	int L=b[x].l,R=b[x].r;
	while(r<R)  Ins(++r);
	while(l>L)  Ins(--l);
	while(r>R)  Del(r--);
	while(l<L)  Del(l++);
	b[x].ans=now;
}
int main(){
	int n,m;
	n=Read();
	len=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=Read();
	}
	m=Read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		b[i].l=Read();
		b[i].r=Read();
		b[i].id=i;
		b[i].pos=b[i].l/len;
	}
	sort(b+1,b+m+1,cmp1);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		query(i);
	}
	sort(b+1,b+m+1,cmp2);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cout<<b[i].ans<<endl;
	}
}

注意

当使用莫队算法时要注意先扩再缩，例如从 $[1,5]$到 $[6,10]$时，如果先移动左端点，那么就会区间就会变为 $[6,5]$，会导致不必要的 $RE$。

//正确写法
	while(r<R)  Ins(++r);
	while(l>L)  Ins(--l);
	while(r>R)  Del(r--);
	while(l<L)  Del(l++);

例题

小Z的袜子

小B的询问

Mato的文件管理

Gty的二逼妹子序列

[HNOI2016]序列